Поскольку слева всегда получается число 1, то величина поля выражается только числами и операциями в правом столбце, т. е. произведением длины гряды на количество гряд. Естественно предположить, что этот факт рано или поздно был осознан древними писцами, они стали опускать числа 1 левого столбца и построили принципиально новый способ вычислений: сначала измеряли количество гряд и длину средней гряды (у прямоугольного поля – это любая гряда, у трапециидального и треугольного – среднее арифметическое самой большой и самой маленькой длины), а затем вычисляли величину поля, перемножив полученные числа (14; 15; 44). Но если бы, например, шумерскому писцу, впервые нашедшему формулу вычисления площади прямого поля, сказали, что он что-то там сочинил или придумал, он бы все это отверг как кощунство и неверие в богов. Выводя данную формулу, он считал, что всего лишь описывает, как нечто было устроено богом, что сам бог в обмен на его усердие и богопочитание открывает ему знание этого устройства.
Рассмотренный здесь этап как действия со знаками можно записать так:
(схема 10)
Здесь ♠ – описанные выше операции преобразования с числами, вплоть до конечной – умножения числа С на С'.
Второй пример относится к реконструкции способов решения шумеро-вавилонских задач.
Реконструируя способы решения вавилонских задач, историки математики оказываются перед лицом парадоксов. С их точки зрения, шумеро-вавилонские математики решали задачи, которые сегодня проходят по ведомству алгебры, геометрии или теоретической арифметики, именно на основе соответствующих математических дисциплин, в то время как последние сложились спустя два-три тысячелетия. Этот парадокс не случаен. Дело в том, что речь в данном случае идет не столько о математике, сколько о математическом мышлении, а мышление, как известно, изучается прежде всего в логике, психологии, теории культуры. Наделяя вавилонских математиков современным стилем и характером мышления, историки математики нарушают, к примеру, некоторые основные принципы исторического рассмотрения культур, принципы исторического анализа человеческого сознания, мышления и поведения. Согласно этим принципам, шумеро-вавилонская культура самобытна и не похожа на современную, языки, сложившиеся в этой культуре (и математические в том числе), принципиально отличны от современных, мышление и поведение представителей шумеро-вавилонской культуры своеобразны и определяются всем строем данной культуры и ее историей.
Спустимся теперь с абстрактных высот этих принципов на землю и посмотрим – «методом проникновения» в чужую культуру, – как же мог вавилонский математик, он же, как известно, старший писец и распорядитель хозяйственных работ, он же часто и учитель, решать математические задачи.
Для примера мы возьмем следующую типичную задачу.
Условие задачи: два поля А гар (гар – мера площади). Одно поле превышает (больше второго)