100 задач с числом года. Часть 1. Выпуск 1. Ирина Краева

даны N (2023) точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых, проходящих через эти точки, можно построить?

      18. Сколько диагоналей имеет выпуклый N-угольник (например, 2023-угольник)?

      19. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером N × N (например, 2023 × 2023) две ладьи так, чтобы они не угрожали друг другу?

      20. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером N × N (например, 2023 × 2023) ладьи в количестве N (2023) штук так, чтобы они не угрожали друг другу?

      Сравнение чисел

      Сравните предложенные числа

      21. (10000N + (N – 1)) × (10000N + (N +1)) и (10001N) ².

      Например, 20232022 ∙ 20232024 и 20232023².

      22. N ^N +1 и (N +1) ^N.

      Например, 2023²⁰²⁴ и 2024²⁰²³.

      23. N ^N и (N +1) ^N – 1.

      Например, 2023²⁰²³ и 2024²⁰²².

      24. N ^N и (N – 1) ^N +1.

      Например, 2023²⁰²³ и 2022²⁰²⁴.

      25. ((N – 1) ^{N – 1} + N ^N) и ((N – 1) ^N + N ^N – 1).

      Например, (2022²⁰²² [phone]) и (2022²⁰²³ [phone]).

      26. (N ^N +1 + (N +1) ^N) и (N ^N + (N +1) ^N +1).

      Например, (2023²⁰²⁴ [phone]) и (2023²⁰²³ [phone]).

      27. ((N – 1) ^{N – 1} × N ^N) и ((N – 1) ^N × N ^N – 1).

      Например, (2022²⁰²² ∙ 2023²⁰²³) и (2022²⁰²³ ∙ 2023²⁰²²).

      28. (N!) ² и (N ²)!. Например, (2023!) ² и (2023²)!.

      29. 2lg (N + (N +1)) и lgN + lg (N +1).

      Например, 2lg (2023 +2024) и (lg2023 + lg2024).

      30. log_{N – 1}N ² и log_N +1 (N ² – 1).

      Например, log ₂₀₂₂2023² и log₂₀₂₄ (2023² – 1).

      Уравнения

      31—42. Решить квадратные уравнения, коэффициенты которых являются «удобными» комбинациями чисел ± 1; ± (N – 1); ± N, то есть, чтобы либо сумма коэффициентов была равна нулю, либо сумма первого и третьего была равна второму.

      Например,

      31) 2023x² – 2022x – 1 = 0;

      32) 2023x² +2022x – 1 = 0;

      33) 2023x² + x – 2022 = 0;

      34) 2023x² – x – 2022 = 0;

      35) 2022x² – 2023x +1 = 0;

      36) 2022x² +2023x +1 = 0;

      37) 2022x² + x – 2023 = 0;

      38) 2022x² – x – 2023 = 0;

      39) x² – 2023x +2022 = 0;

      40) x² +2023x +2022 = 0;

      41) x² – 2022x – 2023 = 0;

      42) x² +2022x – 2023 = 0.

      Решите уравнения

      43. (x + N – 1) ² + (x + N) ² + (x + N +1) ² = 2.

      Например, (x +2022) ² + (x +2023) ² + (x +2024) ² = 2.

      44. (x + N – 1) ² + (x + N) ² + (x + N +1) ² = 3.

      Например, (x +2022) ² + (x +2023) ² + (x +2024) ² = 3.

      45. (x + N – 1) ² + (x + N) ² + (x + N +1) ² = 4.

      Например, (x +2022) ² + (x +2023) ² + (x +2024) ² = 4.

      46.