Математические модели в естественнонаучном образовании. Том II. Денис Владимирович Соломатин

Составьте таблицу значений и отобразите эту функцию для

.

      5.1.6. В этой задаче рассмотрим рассуждения, лежащие в основе формул для числа топологически различных деревьев, корневых и некорневых.

      а. Предположим известно, что некорневое дерево с

 концевыми вершинами состоит из

 ребер. Объясните, почему некорневое дерево с

 концевыми вершинами будет иметь

 ребра. Подсказка: подумайте о том, как добавление еще одной конечной вершины в существующее дерево влияет на количество ребер.

      б. Поскольку некорневое дерево с 2 концевыми вершинами имеет 1 ребро, объясните из пункта (а), почему некорневое дерево с

 концевыми вершинами будет иметь

 ребра.

      в. Предположим известно, что существует

 концевыми вершинами. Объясните, почему существует

 концевой вершиной. Подсказка: подумайте, сколькими различными способами можно добавить еще одну конечную вершину к существующему дереву.

      г. Поскольку существует только 1 некорневое дерево с 2 концевыми вершинами, объясните используя пункт (c), почему существует

 концевыми вершинами при

.

      д. Объясните, почему

.

      е. Почему число корневых деревьев с

 концевыми вершинами такое же, как число некорневых деревьев с

 концевыми вершинами?

      ж. Сделайте вывод о правильности формул в задачах 5.1.4 и 5.1.5.

      5.1.7. Поскольку митохондриальная ДНК у человека наследуется исключительно от матери, она может быть использована для структуры, относящейся к любому количеству людей из разных этнических групп, предполагая, что все люди произошли от одной первой человеческой самки. В зависимости от модели кластеризации этнических групп, это может дать представление о физическом местоположении той женщины, которую иногда называют митохондриальной Евой.

      В работе Канна 1987 года была впервые предпринята попытка определить местонахождение митохондриальной Евы в Африке. Поддерживая теорию происхождения человека «из Африки», было построено дерево с корнями, которое, как утверждается, показывает отношения между 147 людьми. Сколько топологически различных деревьев нужно было бы рассмотреть, если бы действительно рассматривалась каждая возможность? Возможно, для ответа на этот вопрос придется использовать формулу Стирлинга:

. Здесь символ «∼» можно интерпретировать как «приблизительно». Изучению последствий трудности рассмотрения стольких деревьев посвятил свою работу Гиббонс в 1992 году.

      5.1.8. Филогенез четырех терминальных таксонов A, B, C и D связан по определенному метрическому дереву. Суммарные расстояния между таксонами вдоль дерева оказались такими же, как в таблице 5.1.

      Таблица 5.1.  Расстояния между таксонами для задачи 5.1.8

      A            B            C            D

      A            .6           .6           .2

      B                           .4           .6

      C