Свои математические занятия Галилео держал в тайне и, чтобы не расстраивать отца, читая Евклида, обкладывался томами Галена и Гиппократа. Чем больше Галилео занимался математикой, тем ненавистней становилась ему медицина. Он убеждал отца, что и математикой сумеет зарабатывать на жизнь. Скрепя сердце Винченцо согласился, чтобы после четырех лет учебы сын оставил изучение медицины и, не окончив университет, вернулся во Флоренцию. Здесь Галилей начал давать частные уроки математики, а свободное время полностью посвятил изучению математических сочинений и философских трактатов. Уже тогда его очень интересовали вопросы, связанные со строением Вселенной. Наряду с изучением проблем движения Галилео продолжал заниматься и вопросами, непосредственно связанными с его увлечением идеями Архимеда. Умение наблюдать и делать выводы из увиденного с юных лет отличало Галилея. Он довольно рано понял, что «…явления природы, как бы незначительны, как бы во всех отношениях маловажны ни казались, не должны быть презираемы философом, но все должны быть в одинаковой мере почитаемы. Природа достигает большого малыми средствами, и все ее проявления одинаково удивительны».
Размышления и опыты по определению удельного веса различных веществ, особенно сложных смесей и сплавов, привели Галилео к созданию собственной конструкции гидростатических весов – прибора, позволяющего находить плотность тел. Об этом свидетельстует его первая научная работа «Маленькие гидростатические весы» (1586 г.). Кроме того, Галилей много времени работал над определением центра тяжести твердых тел и доказал несколько новых теорем. О нем стали говорить как о необыкновенно способном математике. Галилей вступил в переписку с рядом крупных ученых, в том числе с Гвидобальдо дель Монте. Высокую оценку первым галилеевским работам дал и знаменитый математик Молетти.
Не удовлетворенный частным преподаванием, Галилей начал поиски места в университете. Увы, его повсюду ждали неудачи: ни в Пизе, ни в Риме он так и не смог получить вакантную должность. Не помогли ни хорошее знание предмета, ни предоставленные работы, ни отзывы знаменитых ученых. Положение изменилось, когда помочь молодому математику взялся Джованни Медичи, незаконный сын Козимо I, сводный брат великого герцога Тосканы. С тех пор Галилей на всю жизнь познал ни с чем не сравнимую власть протекции. Опыт этот был горьким, но поучительным.
В