Многоугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми. У первых все внутренние углы меньше 180°: это означает, что, если вы смотрите на фигуру со стороны, вам кажется, будто ее стороны, как и углы, выдаются вперед, то есть являются выпуклыми. У многоугольников второй разновидности, невыпуклых, как минимум пара-тройка внутренних углов больше 180°, и появляется ощущение, что углы направлены внутрь фигуры.
Вообразите, что находитесь в комнате, план которой выглядит как выпуклый многоугольник. Где бы вы ни стояли, для обзора доступен любой угол. Если выражаться математическим языком, у вас есть возможность провести прямую от своего местоположения к каждой точке в помещении. В таком контексте линия будет означать направление обзора, а значит, для охраны любой выпуклой комнаты хватит одного человека.
К сожалению, проектировщик зала математического искусства хотел блеснуть оригинальностью или, возможно, просто увеличить площадь экспозиции, поэтому помещение приобрело вид невыпуклого многоугольника с 28 сторонами – икосиоктагона, если использовать точный термин. Точки внутри помещения, из которой можно провести прямую линию в любую часть многоугольника, не пересекая его сторон, не существует, и потому у нас есть все основания заявить: для наблюдения понадобится больше одного охранника. Итак, нам известно, что g > 1. Наверное, это и так было очевидно, однако теперь у нас появилась отправная точка.
Как уже было сказано, многоугольник можно собрать из треугольников. И, как вы, вероятно, помните со школьных времен, внутренние углы последних составляют в сумме 180°. У треугольника три угла, каждый из которых должен быть меньше 180°, а значит, эта фигура точно не является невыпуклой. Получается, что для полноценной охраны любой треугольной комнаты достаточно одного человека. (Подобное заключение, конечно, не относится к четырехугольникам или многоугольникам с количеством сторон больше трех, так как любая из этих фигур может оказаться невыпуклой.) Итак, теперь вам известно, что на каждый из треугольников, составляющих икосиоктагон, клиентке потребуется самое большее по одному охраннику. В этой связи, наверное, есть смысл упомянуть, что треугольников в многоугольнике всегда на два меньше, чем сторон: треугольник – это один треугольник (что само собой разумеется) и три стороны, четырехугольник – два треугольника и четыре стороны, пятиугольник – это три треугольника и пять сторон…
Итак, число g для комнаты с количеством стен n должно равняться по меньшей мере n – 2, что дает нам g ≤ n – 2. Если объединить это неравенство с предыдущим ограничением, получим вот что:
1 < g ≤ n – 2.
В случае с нашим залом, где по условию n = 28, диапазон возможных значений g будет представлен так:
1 < g ≤ 26.
Разбить полигональное помещение на треугольники можно следующим образом:
Разумеется, существуют и другие