«Андрей Григорьевич родился 30 октября 1899 г. на Украине, в г. Казатине Киевской губернии. Однако зарегистрирован был на родине родителей в с. Быстрое Мосальского уезда нашей области, ныне – с. Боровенск, там же крещен. Таким образом, он наш земляк. Его отец (умер в 1920 г.), выходец из крестьян, определенной профессии не имел и всю жизнь работал по найму чернорабочим, дворником, носильщиком, кочуя по России (Казатин, Киев, Москва, Петроград). Мать занималась домашним и сельским хозяйством (умерла в 1922 г.).
По воспоминаниям сестры, учеба давалась Андрею легко, он любил возиться с железками и постоянно что-то мастерил. Закончив 4 класса Быстровской сельской школы, с 1913 года Костиков обучался в Москве, в технической конторе инженера Межерицкого, на слесаря-водопроводчика. Затем, в 1914–1919 гг., работал подручным слесаря, слесарем на заводах Москвы, Петрограда, Киева. С 19 лет – доброволец Красной Армии. Принимал участие в боевых действиях против украинских повстанцев, в войне с Польшей. Был ранен в ногу. В августе 1920 года попал в плен к полякам, в апреле 1921 года бежал, поступил в РККА.
Обучался в 3-й Киевской военно-инженерной школе (1922 – 1926), которую окончил «первым по успеваемости», после чего служил в Нижнем Новгороде. Позднее окончил Военно-воздушную академию им. Н.Е. Жуковского «по авиационным двигателям и ракетной специальности» (1930 – 1933), то есть набрался кое каких ракетных знаний. После чего был направлен инженером в Реактивный научно-исследовательский институт (РНИИ, впоследствии был преобразован в НИИ-3), работал в отделе баллистических ракет. С 1936 года – начальник отдела по разработке жидкостных ракет. В ноябре 1937 года был назначен исполняющим обязанности, а с сентября 1938-го, после ареста ряда ведущих сотрудников занял должность главного инженера института.
В 1939 году сотрудниками института под руководством Костикова была создана и прошла испытания первая в истории надежная наземная система залпового огня реактивными снарядами. 19 февраля 1940 г. сотрудники института А.Костиков, И. Гвай и представитель Главного артиллерийского управления РККА В. Аборенков получили авторское свидетельство на её изобретение, ставшее основой для разработки будущей знаменитой «катюши». 17 июня 1941 г. Костиков продемонстрировал членам политбюро, правительства страны и руководства министерства обороны СССР работу установки залпового огня (УЗО), базировавшейся на автомобиле. За день до начала войны, 21.06.1941 г., И. Сталин принял решение о развертывании серийного производства реактивных снарядов М-13 и пусковой установки БМ-13 (УЗО) и о начале формирования соответствующих войсковых частей. Уже 14.07.1941 г. секретное советское оружие (УЗО) приняло боевое крещение под Оршей под командованием капитана И. Флерова. Результаты были ошеломляющими. Двумя сериями залпов «Катюш» была полностью разрушена железнодорожная станция Орша и переправа через р. Оршица. С этого участка фронта гитлеровцы вывезли три эшелона убитых и раненых. Не менее важным было и огромное деморализующее психологическое воздействие ракетного оружия на врага.
28