Более всего Пифагор и пифагорейцы прославились тем, что, скорее всего, сыграли важнейшую роль в развитии математики и в ее применении к концепции порядка – будь то порядок музыкальный, космический или даже этический. Каждый ребенок в школе изучает теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы. Геометрический смысл этой теоремы (рис. 7, справа) состоит в том, что площадь квадрата, построенного на самой длинной стороне (гипотенузе) прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на двух коротких сторонах. Иначе говоря, если длина гипотенузы составляет с, то площадь квадрата, который на ней построен, составит с2, а площади квадратов, построенных на двух других сторонах (длиной а и b) равны а2 и b2 соответственно. Значит, теорема Пифагора может быть представлена в таком виде: в каждом прямоугольном треугольнике а2 + b2 = с2. Когда в 1971 году в республике Никарагуа отбирали десять математических формул, изменивших мир, чтобы выпустить серию почтовых марок, теорема Пифагора была напечатана на второй из них. Числа вроде 3, 4 и 5 или, скажем, 7, 24 и 25 составляют пифагоровы тройки: 32 + 42 = 52 (9 + 16 = 25), а 72 + 242 = 252 (49 + 576 = 625). Треугольники с такими длинами сторон будут прямоугольными.
рис. 7
Кроме того, на рис. 7 представлено, пожалуй, самое простое доказательство теоремы Пифагора: с одной стороны, если вычесть из квадрата со стороной а + b площади четырех равных треугольников, получится квадрат, построенный на гипотенузе (в середине). С другой стороны, если вычесть из того же квадрата те же четыре треугольника, расположив их несколько иначе (слева), получится два квадрата, построенных на коротких сторонах. То есть, очевидно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей двух меньших квадратов. В своей книге «Пифагорейская гипотеза», вышедшей в 1940 году (Elisha Scott Loomis. «The Pythagorean Proposition»), математик Элиша Скотт Лумис представил 367 доказательств теоремы Пифагора – в том числе доказательства Леонардо да Винчи и Джеймса Гарфилда, двадцатого президента США.
На самом деле, пифагоровы тройки научились распознавать задолго до Пифагора, хотя теорема Пифагора как «истина», объединяющая все прямоугольные треугольники, еще не была сформулирована. Пятнадцать таких троек перечислены на вавилонской глиняной табличке, относящейся к старовавилонскому периоду (до 1600 г. до н. э.).
Вавилоняне открыли, что пифагоровы тройки можно составлять по простому правилу – «алгоритму». Возьмите любые два целые числа p и q, так чтобы p было больше q. Теперь можно составить пифагорову тройку из чисел p2 – q2; 2 pq; p2 + q2. Пусть, например, q = 1, p = 4. Тогда p2– q2 = 42–12 = 16–1 = 15; 2 pq = 2 × 4 × 1 = 8; p2 + q2 = 42 + 12= 16 + 1 = 17. Набор чисел 15, 8, 17 – это пифагорова тройка,