6. Problemas
6.1. Introducción
6.2. Problemas
6.3. Más sobre los problemas
7. Problemas y lenguaje
7.1. La importancia de los aspectos lingüísticos
7.2. Una experiencia sobre el texto de los problemas
7.3. Una clasificación semántica y clásica de los problemas verbales
8. Modelos, campos conceptuales y resolución
8.1. Siempre «5+7», pero (...)
8.2. El campo conceptual de las estructuras multiplicativas
8.3. Otras clasificaciones de los problemas de multiplicación y división
8.4. Números-medida y números-transformación
8.5. Modelos intuitivos en la multiplicación y en la división
9. Conflictos y obstáculos antes de la resolución
9.1. ¿En qué fase se manifiesta el fracaso?
9.2. Modelos mentales de las operaciones aritméticas básicas
9.3. Un primer acercamiento al problema de la metacognición
10. Conflictos y obstáculos durante la resolución
10.1. Leer el texto del problema
10.2. Representar el texto del problema
10.3. Cómo transformar la solución de un problema en un algoritmo
11. Procesos metacognitivos y actividades de reflexión
11.1. Importancia de las reflexiones sobre su propio trabajo
11.2. Redefinición de un problema, creación de la pregunta
11.3. Problemas y fórmulas
12. Modelos en y de los procedimientos de resolución
12.1. Modelos adecuados y modelos formados
12.2. Modelos normativos y modelos descriptivos
12.3. Cómo ayudar a imaginar modelos
12.4. Modelos para la didáctica de los problemas
12.5. Modelos mentales
13. Problem solving
13.1. Las fases y las condiciones “externas”
13.2. Las condiciones internas y las diferencias individuales
13.3. Enfoques psicológicos sobre el estudio y la investigación en el problem solving. La Gestalt
13.4. La contribución de Polya
13.5. Enfoque psicométrico y conductista
13.6. El enfoque conocido como informático y la teoría de las redes semánticas
13.7. Imágenes y representaciones mentales
13.8. Conclusión (…) circular
Referencias bibliográficas
El aprendizaje de la matemática se ha convertido en una necesidad para todos los jóvenes de hoy. Los retos a los cuales son llamadas las sociedades contemporáneas han llevado progresivamente a elevar el nivel de la educación hasta los 16 años, después hasta los 18 y aún más allá. En esta educación la parte de la ciencia, de la técnica y de la matemática no ha hecho más que crecer. En dos generaciones se pasó del modelo de la escuela primaria al de la educación superior: ya no basta con saber leer, escribir y hacer cuentas, es oportuno saber expresarse oralmente y por escrito sobre temas complejos y en condiciones de discusión delicadas; es oportuno también comprender técnicas sofisticadas, para las que se requieren conocimientos matemáticos concernientes a las grandes estructuras de la aritmética, el álgebra, el análisis y la geometría, que hace un siglo estaban reservadas un estrecho círculo.
Así, es cada vez menos posible, y será imposible para un alumno de los años futuros, afirmar que la matemática no tiene nada que ver con nosotros directamente.
El fracaso en matemática no es una fatalidad. Cuando se enseña bien, la matemática interesa a todos los alumnos; no se llegará al punto de darles la vocación de convertirse en matemáticos naturalmente, pero sí lo suficiente para darles la fuerza y el deseo de obtener la cultura de base que es necesaria hoy en día. La didáctica y la psicología de la matemática nacieron a partir de la preocupación por entender mejor las dificultades encontradas por los alumnos y por ayudarlos a superarlas. La competencia profesional de un profesor no radica solo en el conocimiento de su materia o de las materias que enseña: radica también en su cultura general y en sus conocimientos en cuanto a la psicología, la pedagogía y la didáctica.
Estoy sorprendido por la importancia que Bruno D’Amore, un matemático, ha querido conferir, en esta obra, a cuestiones que no se refieren de hecho a la matemática sino a la psicología. Él consagra páginas muy interesantes a la teoría de la Gestalt, a las teorías del aprendizaje y del desarrollo cognitivo, a la psicología de la resolución de problemas. Y da al mismo tiempo un impresionante número de ejemplos que serán de utilidad para los profesores y quizás para algunos padres de familia. Leyendo el manuscrito, me sorprendí por la variedad y la riqueza de las fuentes de información a las que Bruno D’Amore cuidadosamente hace referencia. Este hecho hace de su obra a su vez una obra de referencia y una introducción a aquellos campos del conocimiento cuales la didáctica de la matemática y la psicología de la matemática.
No hay dominios que la ciencia no pueda penetrar, incluidos aquellos en los cuales el objeto de la investigación parece complejo, variable y poco perceptible. Es éste el caso del aprendizaje de la matemática. Hoy en día no es presuntuoso decir que se empieza a tener una idea relativamente clara del modo en el cual los niños aprenden y comprenden la matemática, desde las etapas que atraviesan, los errores en los que caen con bastante frecuencia, las dificultades que encuentran y la manera en la que llegan a superarlos, con la ayuda de los profesores.
Un concepto es un objeto complejo. Se forma en un largo periodo de tiempo; implica en general una diversidad de propiedades y está asociado a varios tipos de teoremas, algunos de los cuales pueden ser comprendidos también por niños de muy corta edad, mientras que algunos son estudiados con dificultad aún por jóvenes de 15 años. Sin las situaciones que le dan sentido y sin problemas para resolver, un concepto es casi nada. Sin embargo, el censo y la clasificación de los problemas a los que responde un concepto son difíciles y requieren una investigación profunda. Lo mismo en lo referente a los procedimientos a los que recurren los alumnos, espontáneamente o después del aprendizaje. Lo mismo también en lo que se refiere a las formas lingüísticas y no lingüísticas (gráficas, algebraicas) que les permiten expresar estos conocimientos. El trabajo sistemático de la investigación científica no es en absoluto una cosa fácil.
Bruno D’Amore ha estudiado y reflexionado mucho sobre todas estas cuestiones. Su obra hace un buen análisis sobre el estado de nuestros conocimientos al respecto.
Le deseo un gran éxito entre los profesores.
Gérard Vergnaud