Алексей Алексеевич Пещуров родился 21(9) мая 1834 г. в дворянской семье, происходящей из старинного рода, в селе Лосево Мосальского уезда Калужской губернии.
Своего отца Алексея Петровича, он не помнил, так как родился через 5 месяцев после его смерти.
Маленький Алексей воспитывался своей матерью, действительной статской советницей Вильгельминой Васильевой, в имении Лосево.
Рос Алексей любознательным, начитанным. Хорошо знал французский и английский языки. Характер имел целеустремленный, настойчивый и твердый, что во многом определило в дальнейшем его уверенное продвижение по службе.
В октябре 1841 года мать семилетнего Алексея написала в Морское министерство прошение:
«Просит вдова действительная статская советница Мина Васильева, о нижеследующем: сына моего, Алексея Пещурова, имеющего от роду 7 лет и обученного чтению и письму по-русски и по-французски, желая отдать для воспитания в Морской кадетский корпус, всеподданнейше прошу:
Дабы повелено было сие мое прошение принять и именованного сына моего в морской кадетский корпус определить, а что он имеет действительно дворянское достоинство, и что действительно есть мой законный сын, в удостоверение сего представляю при сем свидетельство – недвижимость имения за мною состоит в губерниях Нижегородской в уездах Нижегородском и Горбатовском, Симбирской в уезде Алекперовском и Калужской в уезде Мосальском – всего 438 душ крестьян, нераздельно с малолетними моими детьми.
К поданию надлежит директору морского кадетского корпуса господину адмиралу и кавалеру Крузенштерну. Сие прошение писал служащий департамента народного просвещения титульный советник Алексей Ефремов, сын Кисловской.
Вдова действительная статская советница Мина Васильева Пещурова руку приложила. Семья проживает в Калужской губернии Мосальского уезда в селе Лосево».
В 1848 г. Алексея Пещурова определяют в Морской кадетский корпус, откуда в августе 1851 г. его выпускают гардемарином.
7 октября 1852 г. на фрегате «Паллада», которым командовал офицер лазаревской школы, капитан-лейтенант И. С. Унковский, под флагом вице-адмирала Е. В. Путятина, следовавшего в Японию с дипломатической миссией, гардемарин Пещуров отправился в свое первое дальнее плавание через три океана.
Писатель И. А. Гончаров, бывший секретарем миссии Путятина, в путевых очерках «Фрегат «Паллада» упоминает гардемарина Пещурова.
С потрепанной штормами трех океанов и пришедшей в негодность «Паллады» уже в звании мичмана Пещуров перешел на новый фрегат «Диана», которым командовал С. С. Лесовский, будущий известный адмирал.
Но «Диане» не повезло: во время землетрясения, произошедшего в Японии в декабре 1854 г., новенький, 52-пушечный фрегат получил тяжелейшие повреждения, а позднее во время шторма затонул. Моряки «Дианы» построили шхуну «Хэда» и на ней через Японское море перешли в Николаевск-на-Амуре.
Вернувшись в Кронштадт, лейтенант Пещуров был назначен в иностранную миссию к графу Е. В. Путятину, где выполнял обязанности агента по заказам Морского министерства в Великобритании