Это блестящий парадокс. Кто бы мог подумать, что для шага требуется выполнить бесконечно много подзадач? Хуже того, нет самой первой задачи, которую надо выполнить. Она не может состоять в том, что нужно сделать полшага, потому что до этого пришлось бы сделать четверть шага, а до того – восьмую часть шага и так далее. Если вы думаете, что у вас много дел перед завтраком, представьте, что вам нужно закончить бесконечное количество дел, прежде чем добраться до кухни.
Другой парадокс, названный «Ахиллес и черепаха», утверждает, что быстрый бегун (Ахиллес) никогда не догонит медленного бегуна (черепаху), если у того будет фора.
К тому времени, когда Ахиллес достигнет места, откуда отправилась в путь черепаха, она успеет немного продвинуться вперед. К тому моменту, когда Ахиллес достигнет этого нового места, черепаха снова продвинется, и так далее. Поскольку все мы считаем, что быстрый бегун может обогнать медленного, то либо наши чувства нас обманывают, либо что-то не так с нашими рассуждениями о движении, пространстве и времени.
В этих первых двух парадоксах Зенон, похоже, возражал против принципиальной непрерывности пространства и времени, то есть против того, что их можно делить до бесконечности. Его умной стратегией было применение доказательства от противного (некоторые утверждают, что он его и изобрел), известное среди юристов и логиков как reductio ad absurdum (доведение до абсурда). В обоих парадоксах Зенон предположил непрерывность пространства и времени, а затем вывел из этого допущения противоречие, поэтому предположение о непрерывности должно быть ложным. Анализ основан именно на этом предположении, а потому ставки тут весьма высоки. Он опровергает Зенона, демонстрируя ошибки в его рассуждениях.
Например, вот как анализ справляется с Ахиллесом и черепахой. Допустим, что черепаха стартует в 10 метрах перед Ахиллесом, а Ахиллес бежит вдесятеро быстрее своей соперницы – скажем, 10 метров в секунду против 1 метра в секунду. Таким образом, за 1 секунду Ахиллес отыгрывает 10-метровую фору черепахи. За это время черепаха продвинется на 1 метр. Чтобы покрыть это расстояние, Ахиллесу понадобится еще 0,1 секунды. За это время черепаха преодолеет еще 0,1 метра. Продолжая рассуждать в том же духе, мы видим, что последовательные отрезки времени, которые нужны Ахиллесу, чтобы покрыть разделяющее расстояние, складываются в бесконечный ряд:
1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + … = 1,111… секунд.
Если записать это число в виде обыкновенной дроби, получим 10/9 секунды. Именно столько времени понадобится быстроногому герою мифа, чтобы догнать черепаху. И хотя Зенон был прав в том, что Ахиллесу требуется выполнить бесконечное количество задач,