Системные человеческие джунгли рисков. В. Б. Живетин

стационарное решение системы (1.7), когда δ_n и δ_e – постоянные величины. Из уравнений (1.7) при

= 0,

= 0 следует, что возможности (расход) всегда будут равняться потребностям (поступлениям), если имеет место равенство

      (1 – γ)(1 + р*) = 1.        (111)

      При этом доля расходов γ удовлетворяет условию

      Таким образом, обобщенным параметром, определяющим допустимые расходы, выступает произведение τр. График зависимости (1.12) представлен на рис. 1.20. Если γ принадлежит кривой γ = f(τp), то количество отданного энергетическо-информационного потенциала θ равно количеству полученного θ. В случае когда γ не принадлежит кривой, нарушается баланс, и динамическая система либо развивается, либо деградирует. Рассмотрим это на режиме возмущенного движения для процесса δ_e(t), изменение которого задано первым уравнением системы (1.7).

      Рис. 1.20

      Исключив δ_n(t) из системы (1.7), получим одно дифференциальное уравнение второго порядка относительно δ_e(t):

      После того как построен процесс δ_e(t) согласно уравнению (1.13), неизвестный процесс δ_n(t) может быть определен из первого уравнения (1.7). Если коэффициенты уравнения (1.13) постоянны, то, используя известные методы, получим его аналитическое решение. Для этого запишем характеристическое уравнение

      τ_Dτ_kλ² + (τ_D + τ_k)λ + [1 – (1 – γ)(1 + p*)] = 0,              (1.14)

      решение которого имеет вид

      где Δ = (τ_D + τ_k)² – 4τ_Dτ_k [1 – (1 – γ)(1 + p*)].

      Если равенство (1.11) не выполняется, то в зависимости от величины и знака детерминанта δ корни λ₂ будут вещественными или комплексными.

      Введем обозначение

      При этом

      Величина а² всегда положительна. Положительна также и а в силу того, что τ_D > 0, τ_k > 0. Если τ_D < 0 и τ_k < 0, то рассматриваются динамические системы не с запаздывающим аргументом, а с опережающим, а это нонсенс (не может быть).

      Величина b может быть как положительной, так и отрицательной. В зависимости от соотношения а² и b дискриминант δ может иметь разный знак.

      При этом возможны следующие варианты.

      Вариант 1. Случай, когда a² > b, дискриминант Δ > 0 и оба корня λ_1,2 вещественные. В этом случае общее решение уравнения (1.13) имеет вид

      δ_e(t) = exp(–at){1/2 · (c₁ + c₂)exp(ct) + 1/2 · (c₁ – c₂)exp(–ct)},       (1.16)

      где

.

      Постоянные с ₁ и с₂ зависят от начальных данных δ_е0 и

и параметров системы следующим образом:

      Анализ поведения динамической системы начнем со случая b = 0, соответствующего равновесному состоянию рассматриваемой системы. При этом выполняется условие (1.11) и Δ = a², когда имеет место λ₁₂ = –a ± a, т. е. λ₁ = 0, λ₂ = –2a.

      Общее решение (1.16) примет вид

      δ_e(t) = (c₁ + c₂) / 2 + (c₁ – c₂) / 2 · exp(–2at),

      где c₁ = δ_e0, c₂ = Скачать книгу