II. Объектами исследования конструктивной математики являются конструктивные процессы и возникающие в результате их выполнения конструктивные объекты. Понятия конструктивного процесса и конструктивного объекта являются первичными. Для конструктивного процесса характерно изменение по шагам согласно четко указанным правилам с элементарными, заведомо отличающимися друг от друга объектами, считающимися неразложимыми в ходе этих процессов. Возникающие в результате фигуры, составленные из исходных элементарных объектов, суть конструктивные объекты.
III. Классическая математика.
Характер той или иной математической теории существенно определяется характером абстракций, т. е. мысленного отвлечения от реальности путем идеализации и разнообразных многоступенчатых конструкций – наслоений. При этом суждения об абстрактных объектах, возникающих в результате наслоения далеко идущих идеализаций, требуют разработки особых способов их понимания, так называемую семантику.
Логический аппарат, допустимый для данной математической теории, зависит от исходных понятий и включает вид математической абстракции, положенной в основу понятий математической теории: классическая, интуиционистская и конструктивная математика.
Абстрактные объекты, в том числе математические модели, охватывают класс абстрактных (символических) математических объектов. Изучению подлежат:
1. Объекты содержательно-абстрактные, структурные, теоретические, т. е. отображающие некоторые фундаментальные свойства физических объектов, представленные в виде идеализации высшего порядка.
2. Структуры: класс неопределяемых объектов (абстрактных, символических, математических), например, числа или векторы и отношения между этими объектами в виде гипотетических правил. Многие отношения могут быть описаны при помощи математических операций (структур), связывающих абстрактные объекты с другими объектами или множеством объектов. Абстрактная модель с ее объектами произвольной природы задается с помощью аксиом, вводящих разрешенные операции, которые задают общие отношения между их результатами. Таким образом, сюда входят объекты и их структуры, созданные в теории множеств, алгебре, теоретической арифметике, теории чисел, математическом анализе.
Конструктивное определение вводит новую математическую модель: непротиворечивость аксиоматического определения должна быть доказана конструктивным построением примера, удовлетворяющего определяющим независимым аксиомам.
3. Математические модели, отражающие выбранные свойства физического объекта, когда установлено правило соответствия, связывающее эти свойства и отношения между ними с определенными математическими объектами и отношениями. Так, например, математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия. Определяющие свойства этих моделей представляют собой в некотором приближении абстракции физических