1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…
Los dos primeros números son 1 y 1; el resto se obtienen de la suma de los dos números anteriores. Hay algo muy interesante en el patrón de Fibonacci: si avanzamos por la serie y vamos dividiendo cada número por el inmediatamente anterior, obtenemos una razón que cada vez se acerca más a 1,618:1. Esta razón se conoce como la proporción áurea, y está presente en toda la naturaleza. Por ejemplo, las espirales de la piña (tanto el fruto del pino como el del ananás) y de las flores siguen la proporción áurea.
Si examinamos los copos de nieve, vemos otra cosa interesante. Cada copo de nieve es único, pero todos siguen el mismo patrón: la forma general del hexágono, por lo que casi siempre tienen seis puntos (ver las figuras 3.2 y 3.3). Esto obedece a un motivo: los copos de nieve están formados por moléculas de agua, y cuando el agua se congela, lo hace según un patrón en el que se repiten los hexágonos.
Los animales también se sirven de las matemáticas. En un curso en línea que he impartido recientemente para estudiantes, al que se apuntaron más de cien mil personas, mostré las matemáticas utilizadas por los animales, y los participantes lo encontraron realmente interesante. Los delfines, por ejemplo, emiten un sonido que los ayuda a encontrarse en el agua.
Estos animales marinos emiten unos chasquidos característicos que rebotan en los objetos y regresan a ellos como un eco. Se basan en el tiempo que tarda el sonido en volver, y en su calidad, para saber dónde están sus amigos. Calculan intuitivamente una proporción, la misma que se les enseña a los alumnos en clase de Álgebra, a menudo una y otra vez, sin explicarles cómo se vincula a una situación de la vida real. Les dije como broma, a los alumnos del curso en línea, que si los delfines pudieran hablar en un lenguaje humano, podrían hacerse profesores de álgebra.
En el curso de una investigación para aportar contenidos a este curso en línea, Michaela, una de mis alumnas, descubrió que las arañas son expertas en espirales. Cuando una araña teje una red, primero crea una forma de estrella entre dos soportes verticales resistentes, como pueden ser dos ramas de árbol. A continuación, comienza a hacer una espiral. Necesita hacer esta espiral lo más rápidamente posible para fortalecer la estrella, por lo que elige hacer una espiral logarítmica. En las espirales logarítmicas, la distancia que hay entre cada giro sucesivo alrededor del centro aumenta en el mismo factor cada vez.
Esto significa que la espiral se expande cada vez más rápidamente cuanto más grande se hace. Pero esta espiral logarítmica deja mucho espacio en la red, por lo que la araña empieza a hacer una segunda espiral, más densa. Esta nueva espiral es aritmética, lo que significa que la distancia que hay entre las vueltas de la espiral es siempre la misma. Para esta segunda espiral, la araña necesita mucho más tiempo, porque tiene que hacer muchos más giros alrededor del centro de la estrella, pero la ayuda a atrapar más insectos, porque hace que no queden grandes espacios en la red. Esta asombrosa obra de ingeniería podría hacerse efectuando cálculos, pero la araña usa intuitivamente las matemáticas para crear y usar su propio algoritmo. Para más ejemplos de cómo los animales se sirven de las matemáticas, consulta Devlin (2006).
Cuando les mostré estas ideas a los alumnos del curso en línea, algunos de ellos se resistieron a aceptarlas, con el argumento de que las matemáticas de la naturaleza y las utilizadas por los animales no eran tales. Esos estudiantes solo reconocían unas matemáticas muy diferentes, las de los números y los cálculos. Mi objetivo era impulsarlos a que vieran las matemáticas de manera amplia y a que tomaran conciencia de las verdaderas matemáticas, y logré este objetivo. Al final del curso proporcioné una encuesta a los asistentes, y el 70 % admitieron que el curso les había hecho cambiar de opinión respecto a qué son las matemáticas. Y es importante destacar que el 75 % pasaron a tener más fe en que a partir de ese momento podrían llevar bien esta materia.
Las matemáticas existen abundantemente en la naturaleza, el arte y el mundo, pero la mayoría de los escolares no han oído hablar de la proporción áurea y no ven las matemáticas como el estudio de los patrones. Cuando no mostramos la amplitud de las matemáticas a los estudiantes, les negamos la oportunidad de experimentar lo maravillosas que son.
No soy la única persona que ha argumentado que las matemáticas de la escuela no son las reales. El matemático Reuben Hersh escribió un libro fascinante titulado What Is Mathematics, Really? [¿Qué son las matemáticas en realidad?], publicado en 1999, en el que argumenta que las matemáticas están muy mal representadas en las aulas. La mayoría de los estudiantes piensan que las matemáticas son una serie de respuestas a preguntas que nadie ha hecho. Pero Hersh señala que son las preguntas las que impulsan las matemáticas. Y añade: «Resolver problemas y concebir otros es la esencia de la vida matemática. Si las matemáticas se conciben separadas de la vida matemática, parecen muertas, por supuesto».
Numerosos estudios de investigación (Silver, 1994) han demostrado que cuando los estudiantes tienen la oportunidad de plantear problemas matemáticos, es decir, de pensar en una situación y concebir una pregunta matemática para preguntar sobre esa situación, lo cual es la esencia de las matemáticas reales, se implican más profundamente en la materia y presentan un rendimiento académico mayor. Pero esto rara vez ocurre en las clases de matemáticas. En Una mente maravillosa, película que fue un éxito de taquilla, los espectadores ven a John Nash (interpretado por Russell Crowe) esforzándose por encontrar una pregunta interesante. Esta es la primera etapa del trabajo matemático, y es fundamental. En el aula, los alumnos no experimentan este importante paso; en lugar de ello, pasan el tiempo respondiendo preguntas que les parecen inútiles, preguntas que no han formulado.
En mi libro What’s Math Got to Do with It? [¿Qué tienen que ver las matemáticas con esto?], describo un enfoque de enseñanza basado en el planteamiento de preguntas de matemáticas (Boaler, 2015a). El profesor Nick Fiori les dio a sus alumnos elementos del tipo piñas, juegos de naipes, cuentas de colores, dados, tuercas y tornillos, y les pidió que formulasen sus propias preguntas matemáticas. A los estudiantes les costó adaptarse, pero progresivamente, y emocionados, fueron aprendiendo a usar sus propias ideas, realizar investigaciones matemáticas y aprender nuevos métodos, alentados por un propósito.
A lo largo de los años, las matemáticas escolares se han ido desconectando cada vez más de las matemáticas que usan los matemáticos y de las matemáticas de la vida. Los alumnos pasan miles de horas en el aula aprendiendo conjuntos de procedimientos y reglas que nunca usarán en su vida cotidiana ni en su trabajo. Conrad Wolfram ostenta un alto cargo directivo en Wolfram-Alpha, una de las empresas matemáticas más importantes del mundo. También critica abiertamente la enseñanza tradicional de las matemáticas, y sostiene firmemente que estas no tienen que ver con el cálculo. En una charla TED que han visto más de un millón de personas, Wolfram (2010) propone que el trabajo con las matemáticas incluye cuatro etapas:
1 Plantear una pregunta.
2 Ir del mundo real a un modelo matemático.
3 Realizar un cálculo.
4 Regresar del modelo al mundo real, para ver si la pregunta original ha encontrado respuesta.
La primera etapa consiste en hacer una buena pregunta relativa a ciertos datos o a una situación. Este es el primer acto matemático que es necesario efectuar en el lugar de trabajo. El empleo que está experimentando un crecimiento más rápido en Estados Unidos es el de analista de datos: este profesional analiza la ingente cantidad de datos de los que disponen todas las empresas actualmente y formula preguntas importantes sobre dichos datos. La segunda etapa que describe Wolfram es configurar un modelo para responder la pregunta; la tercera, realizar un cálculo, y la cuarta, aplicar el modelo al mundo para ver si se ha respondido la pregunta. Wolfram señala que el 80 % de las matemáticas escolares están centradas en la tercera etapa (realizar cálculos a mano) cuando esta es la única etapa que los empresarios no necesitan que los trabajadores dominen, ya que