Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau. Matthias Krauß

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Bild 2.22 Formfunktion f₃ beim bilinear veränderlichen Funktionsverlauf

Bild 2.23 Formfunktionen f₃, f₆ und f₉ beim biquadratischen Funktionsverlauf

Mit Bild 2.21 ist bisher von Elementen mit rechteckiger Form ausgegangen worden. In Abschnitt 7.4 wird jedoch deutlich, dass Gl. (2.67) auch zur Beschreibung der Verschiebungen von schiefwinkligen bzw. krummlinig berandeten Elementen verwendet werden kann.

Prinzipiell können in Gl. (2.67) beliebige Lagrangesche Polynome, d. h. die bilinear veränderlichen, biquadratischen, bikubischen oder Polynome höheren Grades verwendet werden. Dabei ist zu bedenken, dass mit den bilinear veränderlichen Funktionen, im Vergleich zu den biquadratischen, sehr viele Elemente benötigt werden, um gute Lösungen bei der Querschnittsberechnung zu erzielen, s. Abschnitt 7.7.4. Aus diesem Grund wird von der Verwendung des bilinear veränderlichen Ansatzes abgeraten.

      Bei linienartigen Querschnitten konnte gezeigt werden, dass mit einem kubischen Polynom die Verschiebungen infolge Querkraft und sekundärer Torsion exakt beschrieben werden und es daher ausreichend ist, ein Blech durch ein einziges Element abzubilden. Daher scheint es naheliegend, den bikubischen Ansatz für die zweidimensionalen Elemente zu wählen. Auf der anderen Seite hängt es bei dickwandigen Querschnitten von der Querschnittsform ab, wie gut dieser Ansatz die tatsächlichen Verformungen beschreibt. Da man ohnehin mehrere Elemente in Dickenrichtung anord-net, kann man alternativ auch Elemente mit biquadratischem Funktionsverlauf wählen. Darüber hinaus sollen die Elemente numerisch möglichst „stabil“ sein, was durch rechteckige und dabei bevorzugt quadratische Elemente erreicht wird. Damit ergibt sich bei Stahlquerschnitten in der Regel eine Elementierung, mit der die Verschiebungen häufig gleichermaßen gut durch die biquadratischen oder bikubischen Funktionen beschrieben werden können. Auch wenn man bei der Verwendung der bikubischen Funktionen eine geringere Anzahl von Elementen benötigt, ist aufgrund der numerischen Integrationen der Rechenaufwand unverhältnismäßig höher, s. Abschnitt 7.5.6. Aus diesem Grund werden Elemente mit biquadratischem Funktionsverlauf empfohlen.

      Anmerkung: Für das Verständnis sei ergänzend erwähnt, dass neben C0-stetigen häu-fig auch C1-stetige Polynome gefordert werden. Dies ist der Fall, wenn in den Grundgleichungen, d. h. in der virtuellen Arbeit, auch die zweite Ableitung einer Verformung auftritt. Dann muss auch die erste Ableitung der Polynomfunktion zur Beschreibung der Verformung stetig verlaufen. Als Beispiel hierfür können die schubstarren Stäbe genannt werden, für die Hermitesche Interpolationspolynome verwendet werden.