Гаусс помітив, що будь-яка побудова циркулем і лінійкою зводиться алгебричною мовою до розв’язування ланцюжка квадратних рівнянь. А кожна «непокірлива» задача на побудову зводиться до розв’язування рівняння-багаточлена степеня більше, ніж 2. Чому ж розв’язування такого рівняння іноді не зводиться до розв’язування квадратних рівнянь? Отут мало одних розрахунків; потрібно вводити нові математичні поняття, що відбивають суть справи.
Гаусс винайшов два таких поняття: поле й векторний простір. У підсумку векторна алгебра, давно звична фізикам і геометрам, стала самостійною алгебричною наукою. Виявилося, що комплексне число, досяжне за допомогою циркуля й лінійки, лежить у деякому полі розмірності 2k, а всякий корінь нерозкладного багаточлена степеня k лежить у полі розмірності k. Якщо число, що цікавить нас, лежить у тім і в іншому полі – виходить, число 2k ділиться на k; тобто саме число k є степенем двійки.
Із цього міркування випливає, що корінь будь-якого нерозкладного багаточлена третього степеня не можна побудувати циркулем і лінійкою. Наприклад, не вдається розділити на три рівні частини кут в 60°, або побудувати трикутник по трьох нерівних медіанах. Така ж заборона перешкоджає діленню кола на 7, 9, 11, 13 або 25 рівних частин. Але для ділення на 5 або на 17 частин заборони немає, оскільки числа 5–1 = 4 і 17 – 1 = 16 суть степені двійки. Тому елліни знайшли спосіб побудови правильного п’ятикутника, а Гауссу вдалося побудувати правильний 17-кутник. Він заповів зобразити цю фігуру на своєму надгробку – що й було зроблено. Однак проблема «квадратури кола» Гауссу не скорилася.
До 24 років Гаусс увійшов до числа найвідоміших математиків Європи. Але для повної слави потрібно було відзначитися в галузі небесної механіки. І тут доля підкинула Гауссу гідну задачу. У першу ніч 1801 року астрономи виявили на небі малу планету Цереру, чия орбіта лежить між Марсом і Юпітером. Після деяких спостережень планету загубили, і астрономи звернулися по допомогу до математиків. Гаусс першим відгукнувся на цей заклик: звернувшись до даних трьох спостережень, він зумів обчислити всі майбутні положення Церери. Через піввіку теорія збурень Гаусса дозволила астрономам розрахувати положення на небі ще ніким не баченої планети – Нептуна.
У 30 років Гаусса вважали вже «королем» європейських математиків. Суперників у нього не було, але не було і матеріального добробуту. Всесильний Наполеон тоді успішно грабував всю Європу, а Ганновер – особливо, оскільки це була вотчина короля непокірливої Англії. Молода дружина Гаусса померла. Тільки пошук нових таємниць природи (за допомогою математики) відволікав ученого від знегод.
Чудовий успіх в області геометричних побудов спонукав Гаусса до пошуків нових геометричних доведень. Він захопився старою, як світ, загадкою п’ятого Евклідового постулату про паралельні прямі. В 1818 році Гаусс здогадався, що цей постулат може мати інше формулювання – але не на площині, а на інших поверхнях,