Аналітична геометрія повністю поміняла ролями геометрію й алгебру. Як зауважив великий французький математик Ж. Л. Лагранж, «поки алгебра й геометрія рухалися кожна своїм шляхом, їхній прогрес був повільним, а використання обмеженим. Але коли ці науки об’єднали свої зусилля, вони запозичили одна в одної нові життєві сили й відтоді швидкими кроками попрямували до досконалості».
Велику заслугу Ферма перед наукою вбачають звичайно у введенні ним нескінченно малої величини в аналітичну геометрію, подібно до того, як це трохи раніше було зроблено Кеплером стосовно геометрії давніх. Він зробив цей важливий крок у своїх працях 1629 року про найбільші й найменші величини – з того почалися ті дослідження Ферма, які стали однією з найважливіших ланок в історії розвитку не тільки вищого аналізу взагалі, але й аналізу нескінченно малих величин зокрема.
П’єр Ферма
Наприкінці двадцятих років XVII століття Ферма відкрив методи знаходження екстремумів і дотичних, які, із сучасної точки зору, зводяться до пошуку похідної. Систематичні методи обчислення площ до Ферма розробив італійський учений Кавальєрі. Але вже в 1642 році Ферма відкрив свій метод обчислення площ, обмежених будь-якими «параболами» і будь-якими «гіперболами». Він довів, що площа необмеженої фігури може бути кінцевою.
Ферма одним із перших взявся за розв’язання задачі випрямлення кривих, тобто за обчислення довжини їхніх дуг. Він зумів звести цю задачу до обчислення певних площ.
Таким чином, поняття «площі» у Ферма набувало вже досить абстрактного характеру. До визначення площ зводилися задачі на випрямлення кривих. Обчислення складних площ він зводив за допомогою підстановок до обчислення більш простих площ. Залишався тільки крок, щоб перейти від площі до ще більш абстрактного поняття «інтеграл».
У Ферма є багато інших досягнень. Він першим прийшов до ідеї координат і створив аналітичну геометрію. Він розв’язував також задачі із теорії ймовірностей. Але Ферма не обмежувався однією лише математикою, він вивчав й фізику, де йому належить відкриття закону поширення світла в середовищах, причому спочатку він обгрунтував це математично, а потім фізично.
Наприклад, Ферма зацікавився простою задачею: за яких умов функція досягає мінімуму або максимуму в даній точці? З’ясувалося, що необхідна проста умова: похідна від функції в цій точці повинна дорівнювати нулю. Нині цей факт відомий кожному старшокласникові: він допомагає будувати графіки досить складних функцій. Але Ферма спробував поширити своє відкриття на функції, що залежать від багатьох змінних, – і зробив чудове фізичне відкриття: світло рухається по такій траєкторії, на якій похідна за часом дорівнює нулю. Отже, час руху світла вздовж цієї траєкторії – мінімальний! Лише через сто років П’єр Мопертюі й Леонард Ейлер відкрили аналог принципу Ферма в механіці, що стало першим кроком до