La primera parte de este texto hace una revisión de los distintos métodos numéricos existentes y cómo ellos se pueden implementar con ayuda de funciones disponibles en Matlab®, por lo que presenta una perspectiva complementaria al manual de usuario disponible en dicho software, o a los libros que enseñan a programarlo. Se presentan las diversas técnicas y algoritmos enfatizando cuáles son más adecuados para cada problema en particular; si bien no siempre existen algoritmos “universales” para un problema dado, se comentan los tipos de dificultades que se pueden presentar, cómo diagnosticarlos y prevenirlos. Cada capítulo contiene ejemplos resueltos y un listado de problemas propuestos, todos ellos han sido probados en evaluaciones de los cursos “Matemáticas aplicadas a la ingeniería de procesos” y “Modelación y simulación dinámica”, impartidos por los autores en la Escuela de Ingeniería de la Pontificia Universidad Católica de Chile desde hace más de 15 años.
La segunda parte de este texto presenta una selección arbitraria de problemas resueltos, incluyendo su código y figuras de resultados. Hemos tenido especial cuidado en incluir aquellos problemas que consideramos son más ilustrativos e interesantes para el estudiante (ajuste de parámetros en ecuaciones no lineales y ecuaciones diferenciales ordinarias, intervalos de confianza, optimización de un biorreactor, etcétera). Como podrán apreciar, el nivel de estos no defraudará ni a los alumnos de pregrado ni a los de postgrado. Los problemas no se limitan a describir situaciones en estado estacionario, sino que por el contrario, hemos tratado de incluir la mayor cantidad de problemas dinámicos. La estructura general de resolución de cada problema es simple: una vez que las ecuaciones gobernantes del fenómeno son derivadas o identificadas, se presentan los códigos en Matlab®, junto a una breve explicación de ellos. Se incluyen abundantes gráficas y, en algunos casos, las explicaciones de los problemas sobrepasan con creces el propósito de estos, permitiendo con ello introducir al estudiante en algún tema derivado del problema. Quisiéramos recordarle al lector que la programación −así como se nos enseñó cuando aprendimos a integrar− es más bien un arte. Con ello, queremos hacer notar que otras soluciones son totalmente correctas, aunque nos hemos esforzado en buscar las más simples y directas. Todos los programas desarrollados en la segunda parte se encuentran disponibles en la página web www.systemsbiology.cl/matlab. Quedan cordialmente invitados a explorarlos y modificarlos. En ella también encontrarán las posibles correcciones que surjan a este texto (como toda obra escrita no estaremos exentas de ellas).
Finalmente, pero no menos importante, quisiéramos agradecer en forma muy especial a nuestras respectivas familias por su comprensión por el tiempo sustraído para la elaboración de este libro.
Héctor Jorquera González, Ph.D.
Claudio Gelmi Weston, Ph.D.
Santiago, julio 2014.
UNA VISIÓN DE LA MODELACIÓN Y SIMULACIÓN DE PROCESOS
Podemos definir a un modelo como un conjunto de hipótesis acerca del funcionamiento o comportamiento de un sistema real, las que usualmente se basan en leyes y principios universales, y que se representan matemáticamente en forma de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético, las ecuaciones de Navier-Stokes que describen el movimiento de un fluido sometido a fuerzas externas, etcétera. La siguiente tabla propone una clasificación de los modelos matemáticos.
Tabla 1. Clasificación de modelos de acuerdoa sus características principales
| Denominación | Características |
| Fenomenológico | Las ecuaciones se han derivado de la aplicación de leyes científicas: física, química, biología, etc. |
| Empírico | Las ecuaciones se han derivado del análisis de los valores de entrada y salida de algunas variables medidas. |
| Continuo | El modelo es válido para todos los valores de la variable tiempo, espacio, etc. |
| Discreto | El modelo se aplica solamente para ciertos valores de la variable tiempo: cada un segundo, minuto, hora, etc. |
| Concentrado | El modelo está descrito por un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias. |
| Distribuido | El modelo está descrito por un conjunto de ecuaciones con derivadas parciales. |
| Determinístico | En el modelo únicamente intervienen variables determinísticas, las cuales solo pueden tener un único valor en una situación dada. |
| Estocástico | En el modelo hay señales estocásticas o variables aleatorias, es decir, para una situación dada, ciertas variables tienen asociada una distribución de probabilidades. |
| Dinámico | Algunas variables del modelo cambian con el tiempo. |
| Estático | Todas las variables del modelo son independientes del tiempo. |
Es común utilizar modelos matemáticos para diseñar procesos; por ejemplo, para llevar resultados de escala laboratorio (donde muchos parámetros son controlados, como la temperatura) a escala de producción. En este último caso, se presentan situaciones más complejas, como la existencia de gradientes de temperatura, humedad, etcétera, y donde es necesario predecir primero el comportamiento del sistema antes de construirlo, a fin de optimizar su desempeño.
Es aquí donde se hace la distinción entre modelación y simulación. La modelación corresponde usualmente a construir un modelo matemático de una situación real y a mostrar que el modelo es capaz de reproducir adecuadamente el comportamiento observado del sistema. En contraste, la simulación corresponde a aplicar un modelo matemático ya existente a una situación nueva; por ejemplo, el pronóstico meteorológico para mañana, diseñar un intercambiador de calor dadas ciertas restricciones de operación, simular que ocurre si cambian las condiciones de un proceso, etcétera.
A medida que la tecnología nos permite medir las características de un proceso dado (temperatura, velocidad, etc.), cada vez con mayor detalle espacial y temporal (por ejemplo, nanomateriales), el manejo de dicha información conduce al planteamiento de modelos cuantitativos de creciente complejidad. La siguiente tabla propone una clasificación de problemas numéricos en ingeniería en base al grado de complejidad de ellos:
Tabla 2. Clasificación de problemas típicos de ingeniería según nivel de dificultad
En resumen, la modelación y simulación numérica seguirán siendo herramientas de gran ayuda en la resolución de nuevos problemas en el ámbito de la ingeniería. Es nuestra intención que este libro ayude a esos futuros profesionales a resolver dichos problemas, tanto clásicos como novedosos.
| 1.Sistemas de ecuaciones lineales |
1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
La resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales se puede