28. Если нечетное число, умножая четное, производит что-то, то возникающее будет четным.
29. Если нечетное число, умножая нечетное число, производит что-то, то возникающее будет нечетным.
30. Если нечетное число измеряет (является делителем) четное число, то оно будет измерять и его половину.
31. Если нечетное число по отношению к некоторому числу будет первым, то оно будет первым и по отношению к его удвоенному.
32. Из чисел, получаемых удвоением от двойки, каждое будет только четно-четным (см. ниже).
33. Если число имеет нечетную половину, то оно будет только четно-нечетным.
34. Если число не будет из получаемых удвоением от двойки и не имеет нечетную половину, то оно будет и четно-четным и четно-нечетным.
Терминология, используемая Евклидом, изложена в начале 7-й книги. Часть из используемых определений, по всей видимости, тоже восходит к Пифагору.
6. Четное число есть делящееся пополам.
7. Нечетное же – не делящееся пополам или отличающееся на единицу от четного числа.
8. Четно-четное число – есть четным числом, измеряемое четным числом (раз).
9. Четно же нечетное есть четным числом, измеряемое нечетное число (раз).
10. Нечетно-четное число есть нечетным числом, измеряемое четное число (раз).
11. Нечетно-нечетное число есть нечетным числом, измеряемое нечетное число (раз).
О том, что именно Пифагор занимался изучением свойств четных и нечетных чисел, свидетельствуют Аристотель и Аристоксен. Едва ли можно предположить, что эти ученые приписывали Пифагору «честь» открытия вполне очевидных истин. Здесь, как и в случае с теоремой Пифагора, заслугой, безусловно, является доказательства приведенных утверждений. Следовательно, ученый впервые применил дедуктивный подход к арифметике.
Единственное незначительное отличие, содержащееся в книге Евклида, состоит в способе доказательства приведенных утверждений. Евклид в данном фрагменте представляет числа в виде отрезков, а Пифагор и его последователи пользовались счетными камешками (псефами). В остальном доказательства, приводимые Евклидом, скорее всего, сходны с доказательствами Пифагора. Интересно, что в восходящем к Пифагору фрагменте «Начал» для некоторых положений даже применяется такой метод, как доказательство от противного. Открытие этого метода также вполне можно приписать Пифагору.
Исследования свойств четных и нечетных чисел стали первыми исследованиями в области теории чисел. Таким образом, нашего героя с полным правом можно назвать основателем этого раздела математики.
Во времена Пифагора и, скорее всего, им самим, также была разработана теория фигурных чисел. Эта теория стала результатом попыток найти взаимосвязь между числами и геометрическими фигурами. Здесь следует несколько подробнее рассмотреть методы счета, используемые пифагорейцами. Для вычислений, как мы уже говорили, они использовали счетные камешки. Их выкладывали на песке, а позже – на счетной доске (абаке) в виде геометрических фигур. Кстати, некоторые источники приписывают изобретение абака Пифагору.