Y el trabajo interno es la suma del producto de fuerzas por desplazamientos (o rotaciones), o lo que es lo mismo
1.2.2 Rigidez de la unión
La fuerza necesaria para producir una unidad de desplazamiento longitudinal en una unión como consecuencia de un esfuerzo cortante es referida como rigidez traslacional (usualmente N/mm, también referido como módulo de corrimiento, módulo de corrimiento o slip modulus), la fuerza necesaria para extraer o penetrar el conector de acuerdo a su dirección axial se denomina rigidez axial (N/mm), mientras que el momento necesario para generar una unidad de giro se refiere comúnmente como la rigidez rotacional (Nmm/rad). Al igual que la capacidad máxima, la rigidez de una unión puede determinarse mediante un ensayo experimental, no obstante, es también posible predecirla analíticamente sin más que sumar las rigideces de los conectores individuales que trabajan en paralelo
En el caso de uniones de momento, tal como se detallará posteriormente, la rigidez rotacional se puede obtener como
Donde ri es la distancia de cada conector al centro de gravedad de la unión. En el caso habitual de que supongamos que todos los conectores que conforman la unión de momento tengan la misma rigidez
Donde el sumatorio es referido comúnmente como el momento polar de la unión, cuya determinación requiere únicamente asumir el centro elástico de rotación, el cual se sitúa por lo habitual en el centro de gravedad (referido en este libro como c.d.g.) de la unión. Tal como se afina en el Capítulo 2 del libro “Conceptos avanzados del diseño estructural con madera. Parte II”, el asumir que todos los conectores de una unión de momento tienen la misma rigidez es una simplificación, ya que en realidad la fuerza requerida para producir una unidad de aplastamiento depende de la dirección de la fibra. No obstante, idealizar los conectores como resortes isótropos, cuya rigidez no depende de la dirección de la fibra, suele ser una aproximación suficientemente acertada.
Conocer la rigidez de una unión es muy necesario para múltiples situaciones. Por ejemplo, tal como se muestra a continuación, permite calcular la distribución de fuerzas elásticas en los distintos conectores que conforman una unión. También permite modelar las estructuras de madera considerando uniones semirigidas, lo que resulta crucial para poder estimar adecuadamente las deformaciones y fuerzas internas en los miembros estructurales.
Los códigos de construcción facilitan ecuaciones que permiten calcular la rigidez lateral y axial de los distintos conectores en función de características tales como el diámetro y longitud del conector, y también la densidad de la madera. Además en el EC5, las verificaciones de estados límite últimos (ELU), es decir de resistencia, consideran un módulo de desplazamiento más conservador que las verificaciones de serviceabilidad, esto es
Esto se debe en cierto modo a lo señalado anteriormente: en realidad los resortes no son isótropos, por lo que uno podría obtener rigideces inferiores a las esperadas. Dado que por lo general los esfuerzos en los miembros estructurales son mayores cuando la rigidez de las uniones es menor, se aplica un módulo de rigidez inferior en la verificación de resistencia. Sin embargo, en la verificación de servicio sí se permite emplear una rigidez algo superior.
Por su parte, la NCh1198 prevé el uso del módulo de corrimiento fundamentalmente para el cálculo de las flechas y contraflechas, más que para el cálculo de la distribución de fuerzas elásticas, y emplea fórmulas muy simplificadas que en su mayoría suponen un módulo de corrimiento proporcional a la capacidad de cada conector, ver T48 PG 129. Ecuaciones muy simplificadas pueden observarse también en el EC5, tal como se muestra en el Tabla 1.2.2.
| tabla 1.2.2 Rigideces laterales de servicio, Kser, de conectores simples según el EC5 de acuerdo al diámetro del conector y la densidad media de la madera en equilibrio de humedad a condiciones estándar. Nota: las rigideces no incluyen la propia tolerancia entre el diámetro de la perforación y el diámetro del conector, lo que debe considerarse en el caso de pretaladrado. | |
| Tipo de conector | |
| Pernos, pasadores, tornillos, clavos con pretaladrado | |
| Clavos sin pretaladrado | |
| Grapas |
En caso de que la unión se realice entre 2 materiales diferentes, como por ejemplo entre una pieza de madera aserrada y un tablero estructural, la densidad media suele tomarse como
En todo caso, los módulos anteriormente detallados suelen ser referidos para uniones madera-madera o madera-tablero, pero también son aplicables a uniones madera-acero o madera-hormigón, recomendándose en este caso una mayoración de la rigidez por un factor de 2.
En el caso de tornillos inclinados un cierto ángulo α (tornillo-fibra), existen diversos modelos analíticos y experimentos de múltiples autores para determinar la rigidez lateral. Sin embargo, mientras dichos modelos no más ampliamente consensuados, se recomienda determinar la rigidez mediante métodos experimentales o según las especificaciones de los fabricantes. Con fines de prediseño puede estimarse la rigidez de un tronillo inclinado en tracción como
donde
Siendo ls la menor de las longitudes roscadas del tornillo en cada una de las piezas en las que se ancla. Por otra parte, para tornillos inclinados cualquier ángulo respecto de la fibra pero solicitados a compresión se recomienda en todo caso considerar
De las ecuaciones anteriores debemos notar algo sumamente importante en relación al diseño con tornillos inclinados. Cuando los tornillos inclinados están en tracción, la rigidez viene principalmente dada por la rigidez axial ya que esta suele ser del orden de 6-10 veces la rigidez lateral. Esto facilita el cálculo posterior ya que en la práctica la capacidad de tornillos inclinados a tracción se realiza considerando únicamente la rigidez axial. Por otra parte, debemos también notar que para ángulos casi perpendiculares tales como
Por su parte, para la estimación de rigidez de una dupla de tornillos en cruz se recomienda aplicar (el valor que a continuación se detalla se corresponde con la rigidez total de los 2 tornillos)