14
Д. Гильберт и В. Аккерман начинают свою известную книгу [Гильберт, Аккерман, 1947] следующей фразой: «Теоретическая логика, называемая также математической или символической логикой, есть применение формального метода математики к области логики».
15
См. получившую очень большой резонанс и в определенном смысле подводящую итоги исследованиям в области формальных систем и искусственного интеллекта книгу А. Хофштаттера [Hofstadter, 1979].
16
Так, например, логическая система «навья-ньяя» основана на исследовании отношения «проникновения» [Инголс, 1975].
17
О фундаментальной роли понятий «знание» и «представление знания» в когнитивных науках см.: [Bobrow, Collis, 1975].
18
Ср. например, «неподвижное бытие» Парменида, «диалектику пустоты» Нагарджуны, «Эйдосы» Платона.
19
Весьма вероятно, что сколько-нибудь общая формальная система такого рода мало чем отличалась бы от естественного языка.
20
При таком доказательстве теорема Тарского остановится теоремой о связи двух семантических неразличений в формальной системе: неразличение текста и метатекста и неразличение оценки «истина – ложь».
21
Критянину Эпимениду (VI в. до н.э.) приписывается высказывание: «Все критяне – лжецы».
22
В «Основании теорем множеств» [Френкель, Бар-Хиллел, 1966, с. 17] это сформулированно так: «Нет такого жителя деревни, который бреет всех тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами – результат, хотя может быть и несколько неожиданный для неподготовленного слушателя, но не более парадоксальный, чем, скажем, тот факт, что нет такого жителя деревни, который был бы одновременно и старше и моложе пятидесяти лет». Заметим, что это легко доказать, используя простую логическую формулу: пусть «y бреет х» выражено как xRy, тогда логическая запись утверждения такова:
∧[{(¬ xRx) → xRp} ∧ {(xRx)→¬ (xRp}]
i∈U
где U – множество жителей деревни, Р∈U – брадобрей. Легко видеть, что формула является точным логическим эквивалентом естественно языковой записи и тождество ложно, так как содержит тождественно ложное выражение (¬А→А) ∧ (А→¬А) в качестве одного из члена конъюнкции где А=pRp.
23
Язык пиджин – это язык с интуитивно ограниченными коммуникативными функциями и редуцированной структурой, язык не родной ни для кого их говорящих на нем. Образуются языки пиджин естественным путем, в результате пиджинизации какого-либо языка, т.е. ломки и редукции его.
24
Здесь □ – необходимо, ◊ – возможно, ~ – отрицание.
25
Интересно заметить, что существуют естественные языки, предложения которых настолько многозначны, что они непонятны без сопровождающих текст танцев (язык аранту).
26
Известно, что пиджин-язык