Рис. 3.38. Мыльная пленка = минимальная поверхность, затягивающая замкнутый проволочный контур.
Рассмотрим сначала простой случай, когда контур не слишком сильно изогнут – а именно, когда его можно взаимно-однозначно спроектировать на выпуклый контур, лежащий в некоторой плоскости. Тогда, оказывается, существует одна и только одна минимальная поверхность, затягивающая данный контур. Если же не ограничиваться простейшими контурами, то теорема единственности перестает быть верной: на один и тот же контур иногда можно натянуть несколько совсем разных минимальных поверхностей, рис. 3.39.
Рис. 3.39. Несколько минимальных поверхностей, затягивающих один и тот же граничный контур.
Если сильно запутать контур (например, заузлить его), то не только может нарушиться единственность пленки, но и сама ее структура может сильно усложниться. В общем случае «почти наверняка» появляются особые точки (сингулярности), то есть такие точки, в окрестности которых пленка уже не устроена, как слегка изогнутый диск, а имеет более сложную, ветвящуюся структуру, рис. 3.40, рис. 3.41, рис. 3.42.
Рис. 3.40. Если граничный контур достаточно сложный, то на минимальной поверхности (на мыльной пленке) появляются особые точки, сингулярности.
Рис. 3.41. Чем сложнее граничный контур, тем больше может быть особенностей у минимальной поверхности.
Рис. 3.42. Пример сложной минимальной поверхности, ограниченной достаточно сложным контуром.
Оказывается, минимальные поверхности широко распространены в природе. Например, как наиболее экономные поверхности, формирующие скелеты некоторых живых организмов. Весьма эффектный пример особенностей минимальных поверхностей дают скелеты радиолярий, микроскопических морских животных, имеющих самые разнообразные и экзотические формы. Радиолярии состоят из небольших комочков протоплазмы, заключенных в пенообразные формы, наподобие мыльных пузырей и пленок. Минимальные поверхности, образующиеся в радиоляриях, имеют много особых точек и ребер ветвления, на которых и концентрируется основная масса жидкости, входящей в состав организма.
Здесь жидкость тормозится и оседает, образуя «водяные отрезки». Концентрация жидкости вдоль ребер ветвления приводит к тому, что твердые фракции морской воды и соли оседают вдоль этих ребер и постепенно образуют твердый скелет животного. После его гибели мягкие ткани распадаются и остается твердый скелет. На рис. 3.43 показано несколько скелетов радиолярий.
Рис. 3.43. Скелеты радиолярий, наглядно показывающие структуру ребер и точек ветвления минимальных