Была создана комиссия из трех выдающихся математиков, которые должны были выбрать несколько подходящих математических проблем и оценить работы претендентов. Одно из предложенных ими заданий состояло в представлении математического доказательства устойчивости Солнечной системы. Будет ли она и дальше работать как часы, или же в какой-то момент в будущем Земля может улететь в пространство и покинуть пределы Солнечной системы?
Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо было решить те самые уравнения, которые завели в тупик Ньютона. Пуанкаре полагал, что его мастерства должно быть достаточно для победы в конкурсе. Математики часто используют следующий прием: они пытаются сначала решить задачу в упрощенном варианте, чтобы понять, имеет ли она решение. Поэтому Пуанкаре начал с задачи трех тел. Но, поскольку и она была слишком сложной, он решил еще более упростить задачу. Вместо того чтобы рассматривать Солнце, Землю и Луну, почему бы не попытаться разобраться с системой, состоящей из двух планет и пылинки? Так как пылинка не будет влиять на планеты, можно предположить, что они будут попросту вращаться одна вокруг другой по эллиптическим траекториям в соответствии с решением Ньютона. И в то же время сама пылинка будет испытывать воздействие гравитационных сил обеих планет. Пуанкаре взялся за воссоздание траектории, описываемой такой пылинкой. Некоторое понимание этой траектории внесло бы интересный вклад в решение исходной задачи.
Хотя ему и не удалось полностью решить задачу, представленной им работы было более чем достаточно для получения премии короля Оскара. Пуанкаре смог доказать существование интересного класса траекторий, воспроизводящих самих себя, так называемых периодических траекторий. Периодические орбиты устойчивы по определению, так как они снова и снова повторяются во времени, подобно эллипсам, которые заведомо описывают две планеты системы.
Французские власти были чрезвычайно обрадованы тем, что награду получил их соотечественник. В XIX в. Германия опередила Францию по части математики, так что французские академики немедленно провозгласили победу Пуанкаре доказательством возрождения французской математики. Гастон Дарбу, непременный секретарь Французской академии наук, заявил:
Начиная с этого момента имя Анри Пуанкаре стало известно широкой публике, которая привыкла затем видеть в нашем коллеге не просто особенно многообещающего математика, но великого ученого, которым Франция по праву может гордиться.
Маленькая ошибка и ее большие последствия
Решение Пуанкаре готовилось к изданию в специальном выпуске журнала Acta Mathematica Шведской королевской академии наук.