Sea X: Distancia recorrida, en km, durante media hora de ejercicio en la caminadora mecánica, por parte del usuario del gimnasio. Luego, se tiene:
Por consiguiente,
Interpretación: la probabilidad de que la desviación estándar muestral de la distancia recorrida se encuentre entre 0.36 y 0.44 km es de 0.5358.
7.2 Distribución t de Student
Sean Z ~ N(0;1) e
Así, la variable T tiene distribución t con k grados de libertad.
Características:
Si X ∼ t(k), entonces
E(X) = 0; para k > 1
La distribución t de Student es muy similar a la distribución normal, ya que ambas varían en el conjunto de los números reales, aunque la distribución t presenta una mayor dispersión. Sin embargo, la varianza de la distribución t se aproxima a la unidad (1) cuando k es un número muy grande.
Propiedad: sea x1, x2,…,xn una muestra aleatoria seleccionada de una población N(μ; σ2). Entonces se tiene:
La variable T tiene entonces una distribución t con (n – 1) grados de libertad.
Ejemplo 8
El administrador de Karaoke Live, un local de karaoke en vivo, ha determinado que el tiempo que permanecen los grupos de amigos que concurren durante los fines de semana es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con una media poblacional de 3.5 horas, y una varianza poblacional desconocida, la cual se ha estimado en 0.25 horas2, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio de permanencia, por parte de 16 grupos de amigos, sea de 3 horas 15 minutos como máximo?
Solución
Sea X: Tiempo de permanencia (en horas) por parte de los grupos de amigos que acuden a Karaoke Live durante el fin de semana. X ~ N(3.5; σ2), n = 16, s2 = (0.5 h)2
Dado que
Esta variable tiene una distribución t con (n – 1) grados de libertad.
Nota. 3 horas y cuarto = 3 horas y 15 minutos = 3.25 horas
Al calcular la probabilidad solicitada, se obtiene
Interpretación: la probabilidad de que el tiempo promedio de permanencia por parte de 16 grupos de amigos sea de 3 horas y 15 minutos como máximo es de 0.03197.
7.3 Distribución F de Fisher
Definición. Sean
La variable aleatoria dada por
tiene una distribución F con parámetros m y n y se denota F(m;n).
Las características de la variable aleatoria W son:
Propiedad: sean x1, x2,…,xn una muestra aleatoria seleccionada con reemplazo de una población
Ejemplo 9
En un estudio realizado por una cadena de cafeterías de Lima metropolitana se seleccionó una muestra de 21 grupos de clientes en reunión de negocios que acudieron al local de La Molina y 24 grupos de clientes al local de San Miguel. Determine la probabilidad de que la varianza muestral del consumo realizado por los grupos de clientes que acudieron al local de La Molina sea menor que 2.5 veces la varianza muestral del consumo realizado por los grupos de clientes en San Miguel. Suponga que las varianzas poblacionales del consumo realizado por los grupos de clientes en ambos locales son similares.
Solución
X1: Consumo realizado (en S/.) por los grupos de clientes de la cadena de cafeterías en el local de La Molina.
X2: Consumo realizado (S/.) por los grupos de clientes de la cadena de cafeterías en el local de San Miguel.
Dado que:
Como la varianza poblacional del consumo realizado por los grupos de clientes en ambos locales son similares. Entonces,
Luego, la probabilidad solicitada es
Interpretación: la probabilidad de que la varianza muestral del consumo realizado por los grupos de clientes en La Molina sea menor que 2.5 veces la varianza muestral en San Miguel es 0.9818.
8. DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE UN ESTADÍGRAFO
Se denomina distribución muestral de un estadígrafo a su distribución de probabilidad, la cual se genera por la extracción de un número muy grande de muestras. Las principales distribuciones muestrales de un estadígrafo se presentan a continuación:
8.1 Distribución de la media muestral con varianza poblacional conocida
Sea x1, x2,…,xn una muestra aleatoria seleccionada, con reemplazo, de una población