Fuente: elaboración propia.
Calcula el valor futuro al año 5 de dicho flujo.
3.1.2. Valor presente de una anualidad
El proceso es el inverso al seguido para el cálculo del valor futuro, como puede apreciarse en el gráfico 3.9 para anualidades vencidas.
Gráfico 3.9 Valor presente de una anualidad vencida
Fuente: elaboración propia.
El valor presente de la anualidad sería:
VP anualidad =
que se puede simplificar a:
VPanualidad = 4.329,43
El valor presente de una anualidad vencida de S/.1.000 por período durante 5 años es de S/.4.329,47. Esta es la cantidad que tendría que depositar hoy en una cuenta que me pague el 5% y, así, poder retirar S/.1.000 al final de cada uno de los siguientes años y quedar con saldo cero en la cuenta.
En otras palabras, a una tasa de 5 , me es indiferente desembolsar S/.4.329,47 hoy o desembolsar S/.1.000 al final de cada año en los próximos 5 años. O, si yo fuera el que recibe el dinero, recibir S/.1.000 al final de cada uno de los siguientes 5 años es equivalente a recibir S/.4.329,47 hoy (valor presente del flujo del futuro).
Generalizando, el valor presente de una anualidad vencida es21:
A: suma anual recibida al final de cada período
r: tasa de interés por período
t: número de períodos
Si se tratara de una anualidad adelantada, el flujo sería como el que se muestra en el gráfico 3.10.
Gráfico 3.10 Valor presente de una anualidad adelantada
Fuente: elaboración propia.
El VP de una anualidad adelantada es mayor que el VP de la anualidad vencida, puesto que cada flujo se recibe un período antes.
La fórmula del valor presente de una anualidad adelantada es:
donde:
A: suma recibida o dada al comienzo de cada período
r: tasa de descuento por período
t: número de períodos
3.2. Anualidades, una aplicación: cronograma de pagos
¿Quién no ha tenido que comprar algo a plazos? Si tenemos el precio al contado, podemos calcular fácilmente el valor de cada cuota con la fórmula del valor presente de una anualidad si contamos con el número de cuotas y la tasa de interés. Despejando A de la fórmula del valor presente de una anualidad vencida, tenemos lo siguiente:
Si queremos comprar un televisor cuyo precio es de S/.1.500 y la tasa de interés es de 3% mensual, y deseamos pagarla en cuatro cuotas mensuales iguales, el valor de cada cuota se halla de la siguiente manera:
Cada cuota por pagar será de S/.403,54. Pero no sabemos (y muchas veces no nos interesa) qué parte de la cuota es el pago de intereses y qué parte es la amortización del préstamo.
Sin embargo, para una empresa es importante separarlos, pues los intereses son un gasto deducible para calcular las utilidades y los impuestos; y, por otro lado, necesita las amortizaciones para presentar adecuadamente el saldo de la deuda por pagar en el balance general. Para lograr esta separación, se elabora un cronograma de pagos.
Consideremos, por ejemplo, que la empresa La Agricultura Moderna S.A. desea comprar un tractor. Un proveedor norteamericano le ha ofrecido uno a un precio de US$1 millón al contado o pagar a crédito en 5 años, a una tasa estipulada del 12% que requiere pagos semestrales.
Como se requieren pagos cada 6 meses, estaríamos hablando de 10 cuotas o períodos en total. Como la tasa estipulada anual es 12% la tasa que se debe aplicar por semestre será de 12/2 = 6%22.
Cada cuota sería de:
Con esta cuota, el precio y la tasa semestral, elaboramos el cronograma de pagos que se muestra en el cuadro 3.2. Observa que se han considerado anualidades vencidas.
Cuadro 3.2 Cronograma de pagos de cuotas iguales
| Período | Saldo | Cuota | Interés | Amortización | Nuevo saldo |
| 1 | 1.000.000 | 135.868 | 60.000 | 75.868 | 924.132 |
| 2 | 924.132 | 135.868 | 55.448 | 80.420 | 843.712 |
| 3 | 843.712 | 135.868 | 50.623 | 85.245 | 758.467 |
| 4 | 758.467 | 135.868 | 45.508 | 90.360 | 668.107 |
| 5 | 668.107 | 135.868 | 40.086 | 95.782 | 572.325 |
| 6 | 572.325 | 135.868 | 34.340 | 101.528 | 470.797 |
| 7 | 470.797 | 135.868 | 28.248 | 107.620 | 363.176 |
| 8 | 363.176 | 135.868 | 21.791 | 114.077 | 249.099 |
| 9 | 249.099 | 135.868 | 14.946 | 120.922 | 128.177 |
| 10 | 128.177 | 135.868 | 7.691 | 128.177 | 0 |
Fuente: elaboración propia.
La cuota por pagar cada seis meses es US$135.867,96. Durante el primer semestre, el monto de la deuda es US$1.000.000, por lo que el interés generado es 0,06 x US$1.000.000 = US$60.000. Al deducir el interés de la cuota, la amortización del primer período es US$75.868, lo que hace que, al final del primer período, el saldo de la deuda se reduzca a US$924.132,04. Este saldo final del primer semestre es, a su vez, el saldo inicial del segundo semestre y el monto de la deuda durante este segundo período. Los intereses del segundo período son 0,06 x US$924.132,04 = US$55.447,92. Si restamos la cuota mensual menos intereses, obtenemos US$80.420,04 de amortización, lo que lleva a un saldo final de la deuda de US$924.132,04 – US$80.420,04 = US$843.712,01. Este resultado es el saldo inicial del tercer semestre. El procedimiento continúa así sucesivamente hasta completar los diez semestres.
Nota que los montos de intereses van bajando y la amortización va subiendo con el paso de los períodos.
En la columna de intereses, tenemos los montos de intereses que corresponden a cada año. Para el estado de pérdidas y ganancias del segundo año, por ejemplo, se tendría un gasto por intereses de US$55.477,92, producido por la financiación de la adquisición del tractor.
Sin embargo, a veces pagamos cuotas mensuales iguales y, en un préstamo a 10 años, tendríamos 120 períodos. Si necesitáramos solo el dato de los intereses en el período 100, hacer la tabla sería engorroso. Para ello, es más práctico aplicar la siguiente fórmula:
Amortizaciónperíodo