Einsetzen der Ableitung von Gln. (1.41)–(1.43) in Gln. (1.46) und (1.47) ergibt
(1.51)
(1.52)
Die Ableitung der Gln. (1.48) und (1.49) in Gl. (1.50) eingesetzt ergibt
(1.53)
und mit den Gln. (1.41), (1.42) und (1.44) folgt:
(1.54)
Für eine sinusförmige Linienlast (siehe Abb. 1.13)
(1.55)
ergeben sich mit
(1.56)
folgende Ansatzfunktionen für die Verformungen:
(1.58)
Abb. 1.13 Einfeldträger mit sinusförmiger Linienlast.
Abb. 1.14 Verlauf der Biege- und Schubspannungen am unterteilten Verbundquerschnitt.
Durch Einsetzen und Umformen lassen sich die drei Unbekannten w0, u10 und
(1.60)
(1.61)
(1.62)
Der Beiwert γ kann als Abminderung des Steiner-Anteils angesehen werden. Bei zwei schubstarr miteinander verbundenen Querschnitten erhält man γ = 1,0.
Durch Einsetzen der Ableitungen der Gln. (1.57)–(1.59) in Gln. (1.43)–(1.45) können nun die auf die Teilquerschnitte und in der Verbundfuge wirkenden Schnittgrößen bestimmt und daraus die Spannungsverteilung ermittelt werden (siehe Abb. 1.14). Wegen der unterschiedlichen Querschnittsbreiten bietet es sich an, anstelle von Schubspannungen den Schubfluss zu verwenden.
Dabei gilt für den Beiwert γ1:
(1.63)
Das γ-Verfahren wird in Abschn. 2.1.1 aufgegriffen und die Anwendung des Verfahrens wird dort erläutert.
1.5 Verschieblicher Verbund einer geklebten Verbindung
In ganz unterschiedlichen Situationen wird im Bauwesen der Verbund genutzt zwischen druckoder zugbeanspruchten Stäben und dem Material, in welches diese Stäbe eingebettet sind. Die Mantelreibung von Bohrpfählen, die Verbundfestigkeit von Bewehrungsstählen im Stahlbetonbau und die Auszugfestigkeit von stiftförmigen Verbindungsmitteln im Holzbau (siehe Abb. 1.15) sind beispielhafte Anwendungen, bei denen für den Verbund ideal-plastisches Verhalten über die gesamte Hüllfiäche der Kontaktfuge vorausgesetzt wird. Diese vereinfachende Annahme geht davon aus, dass über die gesamte Verbundlänge eine ausreichende Verformungsfähigkeit ohne Festigkeitsverlust gegeben ist. Das ist bei einer vergleichsweise spröden Verbund-Schlupf-Beziehung, wie sie bei einer Verklebung mit ausreichend festen Klebstoffen zu beobachten ist, nicht mehr der Fall. Als Folge des spröden Verbundverhaltens kann z. B. bei der Bestimmung der Auszugsfestigkeit von in Holz eingeklebten Gewindestangen beobachtet werden, dass die Kraft, welche verankert werden kann, ab einer gewissen Einklebelänge nicht mehr zunimmt.
Abb. 1.15 Beispiel für Verbundansätze mit plastischem Verhalten: (a) Bohrpfahl, (b) Bewehrungsstahl und (c) Vollgewindeschraube.
Ein vergleichbares Phänomen wurde bereits in den 1950er-Jahren von Volkersen (1953) im Zusammenhang mit Überlappungsstößen von genieteten Blechen beschrieben. Darauf aufbauend wurde von ihm eine Theorie des verschieblichen Verbunds entwickelt. Diese Theorie lässt sich sehr gut auf einen geklebten Verbund anwenden. Für das in Abb. 1.16 dargestellte differenzielle Stabelement lassen sich die Dehnungen, Spannungen und Normalkräfte für den eingeklebten Stab und das Holz angeben
(1.64)
(1.65)
(1.66)
mit