Для вывода рассмотрим платформу длиной L, которую пересекает фотон, испущенный неизвестным источником и/или просто пролетающий мимо. Как принято в СТО будем рассматривать две инерциальные системы отсчета – неподвижную К и подвижную К'. Фотон для наблюдателей на платформе пролетит через неё за время t0 = L/c. Сохраним систему обозначений, близкую к принятой в СТО:
L' – длина платформы в инерциальной системе отсчета K';
L – длина платформы в инерциальной системе K;
t' – интервал времени (время), за которое фотон пролетает через платформу и возвращается обратно в системе K';
t – интервал времени (время), за которое фотон пролетает через платформу и возвращается обратно в системе K.
Наблюдатель в движущейся системе K' считает её покоящейся и вычисляет, что фотон преодолеет платформу за время (путь туда и обратно):
Напротив, внешний наблюдатель видит: свет в одном случае догоняет зеркало на противоположном конце платформы, а в другом летит навстречу мишени:
Рис.1 Полет фотона с точки зрения внешнего наблюдателя. Часы внешнего (неподвижного) наблюдателя покажут время t, а часы на платформе (подвижные) покажут время t'.
На рисунке видно, что для внешнего наблюдателя время движения фотона вдоль движущейся платформы туда и обратно составит:
Преобразуем уравнение:
Выражение второй дроби выглядит как квадрат некоторой величины. Обозначим эту величину через k (очевидно, что эта величина больше единицы):
Мы получили показания двух часов: движущихся с платформой – t' и неподвижных, мимо которых движется платформа – t. Очевидно, эти показания различаются. Чтобы узнать, как изменилось "время в полёте" фотона через движущуюся платформу при рассмотрении его в разных ИСО, вычислим отношение этих показаний:
Отсюда после сокращений получаем:
Время t' – это время (интервал времени) пролёта фотона через платформу для наблюдателя, находящегося на этой платформе, а L' – это длина платформы для этого наблюдателя. Очевидно, что наблюдатель ничего не заметил после разгона платформы, для него ничего не произошло, он, вообще говоря, мог и не знать, что платформа движется. Поэтому эти две величины – исходные, не сократившиеся, те, которые были известны до начала эксперимента. А что же за величины t и L? Наблюдателя, который видит движение платформы, мы считаем неподвижным. Следовательно, он видит платформу длиной L и время t, за которое фотон пролетел через платформу туда и обратно. Мы знаем, что на платформе часы стали идти медленнее, то есть время t', прошедшее на платформе, меньше времени, прошедшего в неподвижной системе отсчета t. Аналогично делаем вывод: в неподвижной системе длина платформы видится укороченной до величины L, против исходной длины L'. Однако, в соответствии с принятым постулатом о постоянстве скорости света, мы должны признать, что если путь для света изменился, то время в пути у фотона также изменилось. И изменилось оно в ту же сторону, что и длина платформы – уменьшилось, причём ровно во столько же, во сколько сократилась платформа, ведь эти три величины связаны формулой: t0 = L/с, то есть:
Подставляя (1) в (2), получаем:
Откуда после преобразований находим:
и, наконец:
Подставим значение величины k и преобразуем к привычному виду:
Таким образом, стержень, имеющий длину L' в той инерциальной системе, где он покоится, имеет длину 