Решение дифференциальных уравнений первой и второй степени с помощью ИИ. Вариант 1. Николай Морозов

розова

      © Николай Морозов, 2024

      ISBN 978-5-0062-9007-5

      Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

      Решение дифференциальных уравнений первой и второй степени с помощью ИИ.

      ВАРИАНТ 1.

      1.1. Решить дифференциальное уравнение y’ – y = e^x. Выполнить проверку

      ChatGPT 3.5 (Маша)

      Для решения дифференциального уравнения y’ – y = e^x, мы можем воспользоваться методом вариации постоянных. Сначала найдем общее решение однородного уравнения y’ – y = 0.

      Характеристическое уравнение для этого уравнения: r – 1 = 0, откуда r = 1. Таким образом, общее решение однородного уравнения это y_h = C * e^x, где C – произвольная постоянная.

      Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения e^x является экспоненциальной функцией, предположим, что частное решение имеет вид y_p = a * e^x, где a – некоторая константа, которую нужно найти.

      Подставив y_p в исходное уравнение y’ – y = e^x, получим:

      a * e^x – a * e^x = e^x, 0 = e^x.

      Это уравнение не имеет решений, поэтому нужно скорректировать наше предположение. Так как правая часть уравнения e^x участвует в общем решении однородного уравнения, чтобы найти частное решение, умножим на x: y_p = a * x * e^x.

      Теперь подставим эту функцию в исходное уравнение:

      (a * e^x + a * x * e^x) – a * x * e^x = e^x,

      a * e^x = e^x, a = 1.

      Поэтому частное решение y_p = x * e^x. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения y = y_h + y_p = C * e^x + x * e^x.

      Для проверки решения можно подставить y и y’ обратно в исходное уравнение y’ – y = e^x и убедиться, что равенство выполняется для всех значений x.

      Подставьте!

      ChatGPT 3.5 (Маша)

      Хорошо, подставим найденное частное и общее решение в исходное дифференциальное уравнение y’ – y = e^x для проверки:

      Общее решение однородного уравнения: y_h = C * e^x, где C – произвольная постоянная.

      Частное решение неоднородного уравнения: y_p = x * e^x.

      Таким образом, общее решение неоднородного уравнения: y = y_h + y_p = C * e^x + x * e^x.

      Теперь возьмем производные по очереди:

      Найдем y’: y’ = (C * e^x)» + (x * e^x)». Учитывая производные экспонент и произведения функций, получаем: y’ = C * e^x + e^x + x * e^x.

      Подставим y и y’ в уравнение y’ – y = e^x: (C * e^x + e^x + x * e^x) – (C * e^x + x * e^x) = e^x.

      Сокращаем одинаковые члены:

      e^x = e^x.

      Получили верное тождество, что подтверждает, что найденное решение y = C * e^x + x * e^x удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению y’ – y = e^x.

      Решить y’ – y = e^x. Проверить решение

      ChatGPT на Русском – Chat GPT

      Для уравнения (y’ – y = e^x), общее решение можно представить в виде (y = C \cdot e^x + x \cdot e^x), где (C) – произвольная постоянная, «\cdot» эквивалентно знаку умножения «*».

      Теперь найдем производную (y’):

      [y’ = C \cdot e^x + e^x + x \cdot e^x]

      Подставим (y) и (y’) обратно в исходное уравнение:

      [y’ – y = (C \cdot e^x + e^x + x \cdot e^x) – (C \cdot e^x + x \cdot e^x) = e^x]

      (e^x) слева и справа уравнения сокращаются, следовательно, уравнение верно для всех значений (x). Таким образом, общее решение (y = C \cdot e^x + x \cdot e^x) верно для уравнения (y’ – y = e^x).

      Решить y’ – y = e^x. Проверить решение

      GPTutor

      Для решения данного линейного дифференциального уравнения первого порядка у – у = е х используем метод интегрирующего множителя.