Métodos numéricos en Excel y Matlab
Con aplicaciones en ingeniería
Rolando Barrera Zapata
Luis Alberto Díaz Montes
Formación / Ingeniería
Colección Formación / Ingeniería
© Rolando Barrera Zapata, Luis Alberto Díaz Montes
© Editorial Universidad de Antioquia®
ISBN: 978-958-714-953-1
ISBNe: 978-958-714-954-8
Primera edición: julio del 2020
Impresión y terminación: Imprenta Universidad de Antioquia
Impreso y hecho en Colombia / Printed and made in Colombia
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Introducción
Este libro se presenta como material de apoyo y consulta para el curso Matemáticas Especiales en Ingeniería Química (código 2505750), del programa de Ingeniería Química de la Universidad de Antioquia, el cual se ofrece en el sexto semestre de la carrera y orienta sus contenidos de modo tal que el estudiante no solo conozca y aprenda a usar razonablemente métodos numéricos para diferentes aplicaciones o problemas, sino que además adquiera o refuerce habilidades específicas que le permitan analizar e interpretar datos, identificar, formular y resolver problemas de ingeniería, usar técnicas y herramientas computacionales en la práctica de la ingeniería, entre otros objetivos.
Un método numérico puede definirse como un algoritmo, es decir, una secuencia de operaciones o cálculos ejecutados en un orden específico, para aproximar la solución de un problema matemático. Tal algoritmo tiene la particularidad de que utiliza operaciones aritméticas simples y comparaciones lógicas para resolver casi cualquier tipo de problema, independiente de su complejidad matemática. Ese detalle hace de los métodos numéricos una herramienta importante en casi todos los campos de la ingeniería, donde la complejidad de problemas o ecuaciones limita comúnmente la aplicabilidad de soluciones analíticas y donde las soluciones aproximadas suelen ser un recurso valioso para una amplia gama de situaciones.
Otro detalle importante con los métodos numéricos corresponde al hecho de que en muchas ocasiones, para resolver un problema complejo (o simple) utilizando únicamente operaciones aritméticas como sumas, restas, divisiones y multiplicaciones, puede ser necesaria una elevada cantidad de cálculos (y por consiguiente de tiempo), que comúnmente deben ejecutarse de manera iterativa, es decir, utilizando los resultados parciales o intermedios obtenidos a partir de ciertas operaciones aritméticas en una etapa de cálculo para resolver los cálculos siguientes a partir de las mismas operaciones. Por esta razón, la aplicabilidad de los métodos numéricos va generalmente ligada al uso de herramientas computacionales (lo que incluye programas de computación comerciales o de desarrollo propio) que hagan eficiente y razonable el esfuerzo y el tiempo dedicados a la solución de un problema en particular.
En ese aspecto, la evolución que en las últimas décadas ha tenido la computación, con el desarrollo de equipos portátiles y procesadores cada vez más potentes, ha favorecido el uso y la aplicación de métodos numéricos en diversos campos de la ingeniería, como en la simulación de procesos, en donde son comunes los simuladores comerciales que facilitan, entre otras, las labores de diseño, control y análisis de variables. No obstante, no siempre una herramienta o programa de computación resulta útil o eficiente para resolver cualquier tipo de problema, y por ello es necesario que el ingeniero conozca aspectos fundamentales de los métodos numéricos, de modo que, si este falla o lleva a una respuesta que resulte ilógica en el contexto del problema, esté en capacidad de proponer rutas de solución alternas con otros métodos o estrategias que eventualmente permitan llegar a la solución.
En los diferentes capítulos del texto se ilustran de manera general los fundamentos, las ventajas y las desventajas de algunos métodos numéricos. Además, a diferencia de otros textos relacionados con métodos numéricos, se presenta en forma detallada la manera de implementar los métodos numéricos o utilizar herramientas disponibles para ello en ambientes computacionales como Excel y Matlab (sin llegar necesariamente a detalles de programación), que corresponden a dos de los paquetes o programas más utilizados en investigación, industria y academia. Excel se caracteriza por su interfaz amigable, su sencillez de operación y su disponibilidad globalmente masificada. Por su parte, Matlab representa una de las herramientas de computación más utilizada en casi todos los campos de la ingeniería, y pese a que sus licencias no siempre están disponibles por fuera del ámbito académico, estas se suplen con el uso de programas de uso libre como Octave y Scilab, cuyas interfaz, sintaxis y aplicabilidad son similares y compatibles con Matlab para un gran número de situaciones.
Para el presente texto se seleccionaron situaciones o problemas representativos en ingeniería, que se distribuyen a lo largo de 7 capítulos. A diferencia del capítulo 1, donde se presentan definiciones y conceptos en general, para cada tema o situación de los capítulos siguientes se ilustran diferentes métodos numéricos, estrategias de solución y formas prácticas de utilizar herramientas computacionales para su implementación o solución. En el capítulo 2 se aborda la solución de ecuaciones no lineales en una variable, en el capítulo 3 la solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales en diversas variables, en el capítulo 4 la regresión e interpolación de datos, en el capítulo 5 el cálculo de derivadas, en el capítulo 6 el cálculo de integrales y en el capítulo 7 la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Si bien para muchas de las situaciones o problemas abordados en el texto existen técnicas analíticas de solución, estas no siempre son fáciles de implementar, haciendo de los métodos numéricos una opción alterna para solucionar o aproximar las respectivas soluciones.
Se espera que mediante el estudio y la práctica de los temas, ejemplos y ejercicios que se presentan en este texto, los estudiantes adquieran o refuercen las habilidades suficientes para enfrentar y resolver no solo los temas que se abordan en el libro, sino también otros métodos numéricos, otras herramientas computacionales e incluso otros temas o problemas susceptibles de solucionarse mediante el uso razonable de métodos numéricos y herramientas computacionales.
1. Introducción a los métodos numéricos
Antes de entrar en detalle en los diferentes métodos numéricos y las herramientas computacionales que se abordan en este texto, es importante repasar o contextualizar diversos términos cuyo significado o connotación se usa de manera implícita en casi todos los capítulos. En lugar de presentar por separado cada una de las definiciones, se exponen diferentes situaciones en las que expresiones como solución analítica o exacta, respuesta exacta, error de redondeo, error significativo, tolerancia, error relativo, error absoluto, porcentaje de error (%error), exactitud, precisión, tanteo y error, aleatoriedad, algoritmo, iteración, convergencia y estabilidad, entre otros, aparecen en contexto. Se recomienda realizar los cálculos u operaciones que se citan como ejemplos, con el objeto de verificar los resultados y permitir mejor asimilación de los conceptos que se pretende ilustrar.
1.1 Errores y tolerancia
Suponga que necesita determinar el valor de x que satisface la ecuación 1.1:
La solución analítica o exacta al problema se logra aplicando