Квантовая механика во многом опирается на интуицию и подсчёт численных результатов сложных, часто вариационных, уравнений, заменяя численные результаты принципами. Но направление к выводу этих принципов, данное в этой книге, зачастую позволяет убедиться в наглядности и несложности, в некотором роде, аналитического решения уравнения Шредингера. В книге мне хотелось бы провести линию вдоль большинства квантово-механических явлений, объясняя их лишь с помощью самого простого из математических средств, доступных нам на сегодняшний день.
Книга является, в некотором роде, эксклюзивной, потому что в ней сведены авторские научные изыскания, совместно с видением собственного подхода к квантовой механике.
Мне хочется, чтобы “Путешествие в квантовую механику” при прочтении обернулось не только пониманием последовательно изложенного материала, но и применением некоторых логически-математических выкладок с вашей стороны. Так будет полезнее осуществить погружение в загадочный мир квантовой механики. Мне хочется надеяться, что книга найдёт своего читателя, как посвящённого в науку микромира, так и новичка, только что начавшего изучение этого раздела физики.
Целью написания этой книги служит не только попытки иного толкования квантовой механики, но и некоторая надежда на её развитие. Как однажды сказал Р.Ф.Фейнман: “Посмотрите на мир с другой стороны”. Мне хотелось бы, чтобы это фраза стала девизом для этого небольшого манускрипта.
Интуитивный и эмпирический вывод уравнений
В данной главе будут рассмотрены два подхода к выводу тождеств на примере уравнения Шредингера и произвольного эмпирического подхода к фундаментальным уравнениям физических процессов. Справедливость зависимостей эмпирических процессов изначально можно поставить под сомнение, но результат измерений искомых величин говорит об обратном, то есть о справедливости их применения. Вид уравнений, которые я называю эмпирические, это законы, вывод которых получен экспериментальным путём.
Начну эту книгу с вывода уравнения Шредингера. Обычно такой подход к уравнению указывает на интуитивность его вывода, однако покажем ниже, что эта интуитивность вполне логична.
Волны Де Бройля
В 1924 г французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер. Согласно гипотезе де Бройля, каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причем соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения. Напомним, что энергия E и импульс частицы p связаны с круговой частотой ν, длиной волны λ и приведённой постоянной Планка ђ соотношениями:
Первое, что следует сделать для вывода уравнения Шредингера, это записать закон сохранения энергии для волны де Бройля. Полная энергия E представляет собой сумму кинетической энергии Ek и потенциальной энергии U(x,y,z):
где M – масса частицы. T – период волны Де Бройля.
Длину волны Де Бройля можно выразить через скорость V:
Непосредственный вывод уравнения Шредингера следует производить в четырёхмерном пространстве координат-времени. Для этого рассмотрим бесконечно маленький объём в таком пространстве. Для закона сохранения энергии на комплексной плоскости волны Де Бройля справедливо:
Выполним следующие преобразования, где t – время, а x – координата:
Вывод, который можно подчеркнуть из этих преобразований гласит: необходимо для справедливости уравнения Шредингера вводить новую функцию под знак производной, так как в процессе преобразований получился оператор, который характеризует закон изменения энергии в исследуемых волнах Де Бройля. Такой функцией принято обозначать волновую функцию ψ. Тогда:
Выведенное уравнение получило своё название в честь учёного, который обобщил волны Де Бройля, получив выражение, которое как мы убедимся ниже, сыграло огромную роль в развитии технологий. Этим учёным был Эрвин Рудольф Йозеф Александр Шредингер.
Эмпирический метод получения законов физики
В школьной программе принято брать на веру фундаментальные законы физики, например, закон Кулона или закон Ньютона для гравитационной силы. В этом разделе повествование пойдёт о получении таких законов, так как их целесообразно применять в любой сфере научного знания.
Понятие “зависимости” физических величин, как свойство переменной, изменения которой определяется изменениями других независимых переменных. Согласно формулировке о зависимости силы от функции fi(xi) переменной xi, заданные функции перемножаются между собой, если они независимы. Так силу можно определить из общего выражения:
Выберем в качестве примера закон Кулона.
f1(x1)