Проблема Борсука. Учебное пособие - Андрей Райгородский
| Автор: | Андрей Райгородский |
| Издательство: | Негосударственное образовательное учреждением «Московский центр непрерывного математического образования» |
| Серия: | Математическое просвещение |
| Жанр произведения: | Математика |
| Год издания: | 2015 |
| isbn: | 978-5-4439-0163-3 |
Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором 4 декабря 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9—11 классов. В ней рассказывается об одной из знаменитых задач комбинаторной геометрии – гипотезе Борсука, которая утверждает, что в n-мерном пространстве всякое ограниченное множество можно разбить на n+1 часть меньшего диаметра. Вначале подробно анализируются случаи малых размерностей и доказывается, что при n=1, 2, 3 гипотеза верна. Далее приводятся различные оценки сверху для числа Борсука в зависимости от размерности. Кроме того, рассматривается связь гипотезы с другими проблемами и задачами комбинаторной геометрии (проблема освещения, задача Грюнбаума, задача о хроматическом числе). В заключительных главах рассматриваются контрпримеры к гипотезе Борсука и история понижения минимальной размерности, в которой строится контрпример, а также улучшения оценки снизу. Многие главы снабжены задачами. Некоторые из них – это упражнения, прорешав которые, читатель лучше прочувствует материал. На некоторые задачи опирается основной текст. Сложные задачи отмечены звёздочками (некоторые являются открытыми проблемами). Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей. От читателя потребуется знание элементарных понятий комбинаторики, а кроме того, будет полезным (но не обязательным) знакомство с аналитической геометрией и началами анализа.